Номер 18.31, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.31. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат, а каждая его боковая грань – ромб со стороной $a$ и углом $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем площадь основания.

Основанием параллелепипеда является квадрат. Из условия задачи, каждая боковая грань — это ромб со стороной $a$. Стороны основания также являются сторонами боковых граней. Следовательно, сторона квадрата, лежащего в основании, равна $a$.

Площадь основания (квадрата) равна:

$S_{осн} = a^2$

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — квадратное основание со стороной $AB = a$. Боковое ребро $AA_1$ также равно $a$, так как оно является стороной боковой грани-ромба.

Боковые грани $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ — это ромбы со стороной $a$ и углом 60°. Это означает, что острые углы этих ромбов примыкают к вершине $A$. То есть, $\angle A_1AB = 60°$ и $\angle A_1AD = 60°$.

Проведем высоту $A_1O$ из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Длина $A_1O$ и есть искомая высота $H$.

Поскольку боковые ребра $AA_1$ одинаково наклонены к сторонам основания $AB$ и $AD$ (углы $\angle A_1AB$ и $\angle A_1AD$ равны), то проекция $AO$ ребра $AA_1$ на плоскость основания будет являться биссектрисой угла $\angle BAD$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $\angle BAD = 90°$, и его биссектрисой является диагональ $AC$. Таким образом, точка $O$ лежит на диагонали $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$. В нем $A_1A = a$ (гипотенуза), $A_1O = H$ (катет). Чтобы найти $H$, нам нужно найти длину катета $AO$.

Для нахождения $AO$ спроецируем точку $O$ на стороны $AB$ и $AD$. Пусть $OK \perp AB$ и $OM \perp AD$. Тогда в прямоугольной плоскости основания четырехугольник $AKOM$ является прямоугольником. Так как $AO$ — биссектриса угла $\angle KAM$, то $AKOM$ — квадрат.

Теперь рассмотрим трехгранный угол при вершине $A$. Ребра $AA_1, AB, AD$ имеют длину $a$. $\angle A_1AB = \angle A_1AD = 60°$, $\angle DAB = 90°$.

Длину $AK$ можно найти как проекцию $A_1K$ на плоскость основания, где $A_1K$ - высота в треугольнике $A_1AB$. Проще использовать векторы или рассмотреть проекции.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Вершина $B$ на оси Ox: $B(a,0,0)$. Вершина $D$ на оси Oy: $D(0,a,0)$. Пусть координаты вершины $A_1$ будут $(x,y,z)$.

Длина ребра $AA_1$ равна $a$, значит $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AA_1} = (x,y,z)$ и $\vec{AB} = (a,0,0)$ равно:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}| \cos(\angle A_1AB) = a \cdot a \cdot \cos(60°) = \frac{a^2}{2}$

С другой стороны, $\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = ax$.

Приравнивая, получаем $ax = \frac{a^2}{2}$, откуда $x = \frac{a}{2}$.

Аналогично для векторов $\vec{AA_1} = (x,y,z)$ и $\vec{AD} = (0,a,0)$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AD}| \cos(\angle A_1AD) = a \cdot a \cdot \cos(60°) = \frac{a^2}{2}$

С другой стороны, $\vec{AA_1} \cdot \vec{AD} = x \cdot 0 + y \cdot a + z \cdot 0 = ay$.

Приравнивая, получаем $ay = \frac{a^2}{2}$, откуда $y = \frac{a}{2}$.

Теперь найдем $z$, которое и является высотой $H$. Подставим $x$ и $y$ в уравнение длины ребра:

$(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + z^2 = a^2$

$\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + z^2 = a^2$

$\frac{a^2}{2} + z^2 = a^2$

$z^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

$z = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, высота параллелепипеда $H = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычислим объём параллелепипеда.

$V = S_{осн} \cdot H = a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Ответ: Объём параллелепипеда равен $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.