Номер 18.37, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.37. Основанием призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ является трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Площади граней $BB_1 C_1 C$ и $AA_1 D_1 D$ соответственно равны $S_1$ и $S_2$. Расстояние между плоскостями, содержащими эти грани, равно $d$. Найдите объём призмы.

Пусть $V$ - объем призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием призмы является трапеция $ABCD$, в которой стороны $BC$ и $AD$ параллельны. Обозначим длины этих сторон как $BC=b$ и $AD=a$.

Площади боковых граней $BB_1C_1C$ и $AA_1D_1D$ равны $S_1$ и $S_2$ соответственно. Эти грани являются параллелограммами.

Грани $BB_1C_1C$ и $AA_1D_1D$ лежат в параллельных плоскостях. Это следует из того, что боковые ребра призмы $AA_1$ и $BB_1$ параллельны и равны, а основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны по условию. Таким образом, плоскость $(AA_1D_1D)$, проходящая через пересекающиеся прямые $AA_1$ и $AD$, параллельна плоскости $(BB_1C_1C)$, проходящей через соответственно параллельные им прямые $BB_1$ и $BC$.

Расстояние между этими параллельными плоскостями по условию равно $d$.

Для нахождения объема призмы воспользуемся методом интегрирования (принципом Кавальери). Объем тела, заключенного между двумя параллельными плоскостями, можно найти как интеграл от площади сечения тела плоскостью, параллельной данным, по расстоянию между плоскостями.

Введем систему координат так, чтобы ось $Ox$ была перпендикулярна плоскостям граней $(AA_1D_1D)$ и $(BB_1C_1C)$. Пусть плоскость $(AA_1D_1D)$ соответствует координате $x=0$, а плоскость $(BB_1C_1C)$ — координате $x=d$.

Рассмотрим поперечное сечение призмы плоскостью, заданной уравнением $x=c$, где $0 \le c \le d$. Объем призмы вычисляется по формуле:$V = \int_0^d A(x) dx$,где $A(x)$ — площадь сечения призмы на расстоянии $x$ от плоскости $(AA_1D_1D)$.

Сечение призмы плоскостью $x=c$ является параллелограммом. Его стороны — это отрезки, по которым секущая плоскость пересекает основания призмы ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$) и боковые грани ($ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$). Можно показать, что площадь этого сечения $A(x)$ линейно зависит от $x$.

При $x=0$ сечение совпадает с гранью $AA_1D_1D$, поэтому $A(0) = S_2$. При $x=d$ сечение совпадает с гранью $BB_1C_1C$, поэтому $A(d) = S_1$.

Так как $A(x)$ является линейной функцией от $x$, ее можно записать в виде $A(x) = kx + m$. Используя известные значения в крайних точках:$A(0) = k \cdot 0 + m = S_2 \implies m = S_2$.$A(d) = k \cdot d + S_2 = S_1 \implies k = \frac{S_1 - S_2}{d}$.

Таким образом, функция площади сечения имеет вид:$A(x) = \frac{S_1 - S_2}{d} x + S_2$.

Теперь найдем объем, вычислив интеграл:$V = \int_0^d \left( \frac{S_1 - S_2}{d} x + S_2 \right) dx$

$V = \left[ \frac{S_1 - S_2}{d} \frac{x^2}{2} + S_2 x \right]_0^d$

$V = \left( \frac{S_1 - S_2}{d} \frac{d^2}{2} + S_2 d \right) - 0$

$V = \frac{(S_1 - S_2)d}{2} + S_2 d = \frac{S_1 d - S_2 d}{2} + \frac{2 S_2 d}{2}$

$V = \frac{S_1 d + S_2 d}{2} = \frac{d(S_1 + S_2)}{2}$

Ответ: $V = \frac{d(S_1 + S_2)}{2}$