Номер 19.2, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Сторона основания по условию $a = 6$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 6$ см:

$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Найдём высоту пирамиды. Высота $H$ правильной пирамиды опускается из вершины в центр основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией бокового ребра является отрезок, соединяющий вершину основания с центром основания, который равен радиусу $R$ описанной около основания окружности.

Высота пирамиды $H$, проекция бокового ребра $R$ и само боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. По условию, угол между боковым ребром и основанием равен $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике, один из острых углов которого равен $45^\circ$, катеты равны. Следовательно, высота пирамиды равна её проекции на основание: $H = R$.

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, находится по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 6$ см:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Так как $H = R$, то высота пирамиды $H = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдём объём пирамиды. Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}$

$V = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18$ см³.

Ответ: $18$ см³.