Номер 19.9, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.9. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение высоты пирамиды (H)

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. В основании лежит правильный треугольник $ABC$. Высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$.

Боковое ребро, например $SA$, равно $b$. Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, — это угол между самим ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания, то есть отрезком $AO$. Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $SA = b$, а высота пирамиды $H = SO$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Из определения синуса: $\sin(\alpha) = \frac{SO}{SA} = \frac{H}{b}$

Отсюда находим высоту: $H = b \sin(\alpha)$

2. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Для нахождения площади основания нужно найти длину его стороны $a$. Сначала найдем длину проекции $AO$ из того же прямоугольного треугольника $\triangle SAO$. $AO$ — это катет, прилежащий к углу $\alpha$.

Из определения косинуса: $\cos(\alpha) = \frac{AO}{SA} = \frac{AO}{b}$

Отсюда $AO = b \cos(\alpha)$.

Поскольку основание — правильный треугольник, точка $O$ является его центром, а отрезок $AO$ — радиусом $R$ описанной окружности. Связь между стороной правильного треугольника $a$ и радиусом описанной окружности $R$ выражается формулой: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Так как $R = AO$, получаем: $b \cos(\alpha) = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Выразим сторону основания $a$: $a = b\sqrt{3}\cos(\alpha)$

Теперь найдем площадь основания по формуле площади правильного треугольника: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим выражение для $a$: $S_{осн} = \frac{(b\sqrt{3}\cos(\alpha))^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(b^2 \cdot 3 \cdot \cos^2(\alpha)) \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}b^2\cos^2(\alpha)$

3. Вычисление объема пирамиды (V)

Подставим найденные выражения для высоты $H$ и площади основания $S_{осн}$ в формулу объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{4}b^2\cos^2(\alpha)\right) \cdot (b\sin(\alpha))$

Сократим множитель 3 и объединим члены: $V = \frac{\sqrt{3}}{4}b^3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4}b^3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)$