Страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.4. Деревянный куб, ребро которого равно 12 см, распилили на две части: треугольную пирамиду и семигранник (рис. 19.11). Найдите объём семигранника, если плоскость распила проходит через середины трёх рёбер куба, имеющих общую вершину.

Рис. 19.11

Для того чтобы найти объём семигранника, необходимо из общего объёма исходного куба вычесть объём отпиленной от него части. Отпиленная часть представляет собой треугольную пирамиду.

1. Сначала вычислим объём всего куба. Длина ребра куба по условию $a = 12$ см. Объём куба ($V_{куб}$) находится по формуле: $V_{куб} = a^3$ Подставляя данное значение, получаем: $V_{куб} = 12^3 = 1728$ см³.

2. Далее найдём объём отпиленной треугольной пирамиды. Плоскость распила проходит через середины трёх рёбер куба, имеющих общую вершину. Это означает, что у отпиленной пирамиды три ребра, выходящие из этой общей вершины, взаимно перпендикулярны (так как это рёбра куба). Длина каждого из этих рёбер равна половине длины ребра куба: $b = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Объём такой пирамиды ($V_{пирамиды}$) можно вычислить по формуле: $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. В качестве основания возьмём прямоугольный треугольник, образованный двумя из этих рёбер. Его площадь: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см². Высотой пирамиды относительно этого основания будет третье ребро, перпендикулярное ему: $h = b = 6$ см. Теперь вычислим объём пирамиды: $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36$ см³.

3. Наконец, чтобы найти объём оставшейся части — семигранника ($V_{семигранника}$), вычтем объём пирамиды из объёма всего куба: $V_{семигранника} = V_{куб} - V_{пирамиды}$ $V_{семигранника} = 1728 - 36 = 1692$ см³.

Ответ: 1692 см³.

Рис. 19.11

19.5. Основаниями усечённой пирамиды, высота которой равна 6 см, являются прямоугольники. Стороны одного основания равны 12 см и 16 см, а меньшая сторона другого — 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма усечённой пирамиды:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ – высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

По условию задачи, высота пирамиды $h = 6$ см.

Основаниями являются прямоугольники. Найдём их площади.

Пусть $S_1$ — это площадь большего основания. Его стороны равны 12 см и 16 см. Площадь этого прямоугольника:

$S_1 = 12 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 192 \text{ см}^2$

Основания усечённой пирамиды являются подобными многоугольниками. Это означает, что прямоугольник в меньшем основании подобен прямоугольнику в большем основании. Отношение их соответствующих сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$.

Меньшая сторона большего основания равна 12 см. По условию, меньшая сторона другого (меньшего) основания равна 3 см. Найдём коэффициент подобия, разделив длину соответствующей стороны меньшего основания на длину стороны большего:

$k = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Теперь найдём вторую, большую, сторону меньшего основания. Она будет в $k$ раз меньше большей стороны большего основания:

$a_2 = 16 \text{ см} \cdot k = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4 \text{ см}$

Теперь мы можем найти площадь меньшего основания $S_2$:

$S_2 = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$

У нас есть все необходимые данные для расчёта объёма: $h = 6$ см, $S_1 = 192$ см$^2$, $S_2 = 12$ см$^2$. Подставим их в формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (192 + 12 + \sqrt{192 \cdot 12})$

Сначала вычислим значение выражения под корнем:

$\sqrt{192 \cdot 12} = \sqrt{2304} = 48$

Теперь подставим это значение обратно в формулу и найдём объём:

$V = 2 \cdot (192 + 12 + 48)$

$V = 2 \cdot (204 + 48)$

$V = 2 \cdot 252$

$V = 504 \text{ см}^3$

Ответ: $504 \text{ см}^3$.

19.6. Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 5 см и 10 см, а высота – 9 см.

Для нахождения объема усеченной пирамиды используется следующая формула:

$$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$$

где $H$ — высота усеченной пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

Поскольку пирамида правильная треугольная, ее основаниями являются равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Нам даны:

• Сторона большего (нижнего) основания $a_1 = 10$ см.
• Сторона меньшего (верхнего) основания $a_2 = 5$ см.
• Высота усеченной пирамиды $H = 9$ см.

Выполним решение по шагам.

1. Вычисление площади большего основания ($S_1$)

Подставляем значение стороны $a_1 = 10$ см в формулу площади равностороннего треугольника:

$$S_1 = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \text{ см}^2$$

2. Вычисление площади меньшего основания ($S_2$)

Подставляем значение стороны $a_2 = 5$ см в формулу площади:

$$S_2 = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$$

3. Вычисление объема усеченной пирамиды

Теперь подставим найденные площади оснований $S_1$ и $S_2$, а также высоту $H$ в формулу для объема усеченной пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \left(25\sqrt{3} + \frac{25\sqrt{3}}{4} + \sqrt{25\sqrt{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4}}\right)$$

Упростим выражение под корнем:

$$\sqrt{25\sqrt{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{25^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{4}} = \sqrt{\frac{625 \cdot 3}{4}} = \frac{\sqrt{625}\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$$

Подставим это значение обратно в формулу объема:

$$V = 3 \left(25\sqrt{3} + \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{25\sqrt{3}}{2}\right)$$

Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю 4:

$$V = 3 \left(\frac{4 \cdot 25\sqrt{3}}{4} + \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{2 \cdot 25\sqrt{3}}{4}\right) = 3 \left(\frac{100\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 50\sqrt{3}}{4}\right)$$

Сложим числители:

$$V = 3 \left(\frac{(100+25+50)\sqrt{3}}{4}\right) = 3 \left(\frac{175\sqrt{3}}{4}\right)$$

Выполним окончательное умножение:

$$V = \frac{3 \cdot 175\sqrt{3}}{4} = \frac{525\sqrt{3}}{4}$$

Ответ: $\frac{525\sqrt{3}}{4} \text{ см}^3$.

19.7. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $b$ и образует с высотой пирамиды угол $\alpha$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $b$ (которое является гипотенузой) и проекцией бокового ребра на плоскость основания. В правильной четырёхугольной пирамиде высота опускается в центр основания (точку пересечения диагоналей), поэтому проекция бокового ребра на основание равна половине диагонали основания ($R$). Угол между боковым ребром $b$ (гипотенузой) и высотой $H$ (катетом) по условию равен $\alpha$.

Из этого прямоугольного треугольника найдём высоту $H$ и половину диагонали основания $R$ через тригонометрические функции:

• Высота $H$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, поэтому $H = b \cdot \cos(\alpha)$.
• Половина диагонали $R$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, поэтому $R = b \cdot \sin(\alpha)$.

Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Найдём его площадь. Диагональ квадрата $d$ равна двум её половинам $R$:

$d = 2R = 2b \sin(\alpha)$

Площадь квадрата можно найти через его диагональ по формуле $S = \frac{1}{2} d^2$. Подставим в неё наше выражение для $d$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} (2b \sin(\alpha))^2 = \frac{1}{2} \cdot 4b^2 \sin^2(\alpha) = 2b^2 \sin^2(\alpha)$

Теперь подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (2b^2 \sin^2(\alpha)) \cdot (b \cos(\alpha))$

$V = \frac{2}{3} b^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{2}{3} b^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)$.

19.8. Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого равно $a$.

Правильный тетраэдр — это пирамида, у которой все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Длина каждого ребра равна $a$.

Объём любой пирамиды, в том числе и тетраэдра, вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Для нахождения объёма выполним следующие шаги:

1. Найдём площадь основания ($S_{осн}$).

Основанием правильного тетраэдра является равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдём высоту тетраэдра ($H$).

Высота правильного тетраэдра опускается из его вершины в центр основания (который является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой тетраэдра $H$ (катет), ребром тетраэдра $a$ (гипотенуза) и радиусом $R$ описанной около основания окружности (второй катет).

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, равен:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Теперь по теореме Пифагора найдём высоту $H$:

$H^2 + R^2 = a^2$

$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

3. Вычислим объём тетраэдра ($V$).

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{a^3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{3 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36}$

Поскольку $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$, то:

$V = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

19.9. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение высоты пирамиды (H)

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. В основании лежит правильный треугольник $ABC$. Высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$.

Боковое ребро, например $SA$, равно $b$. Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, — это угол между самим ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания, то есть отрезком $AO$. Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $SA = b$, а высота пирамиды $H = SO$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Из определения синуса: $\sin(\alpha) = \frac{SO}{SA} = \frac{H}{b}$

Отсюда находим высоту: $H = b \sin(\alpha)$

2. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Для нахождения площади основания нужно найти длину его стороны $a$. Сначала найдем длину проекции $AO$ из того же прямоугольного треугольника $\triangle SAO$. $AO$ — это катет, прилежащий к углу $\alpha$.

Из определения косинуса: $\cos(\alpha) = \frac{AO}{SA} = \frac{AO}{b}$

Отсюда $AO = b \cos(\alpha)$.

Поскольку основание — правильный треугольник, точка $O$ является его центром, а отрезок $AO$ — радиусом $R$ описанной окружности. Связь между стороной правильного треугольника $a$ и радиусом описанной окружности $R$ выражается формулой: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Так как $R = AO$, получаем: $b \cos(\alpha) = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Выразим сторону основания $a$: $a = b\sqrt{3}\cos(\alpha)$

Теперь найдем площадь основания по формуле площади правильного треугольника: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим выражение для $a$: $S_{осн} = \frac{(b\sqrt{3}\cos(\alpha))^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(b^2 \cdot 3 \cdot \cos^2(\alpha)) \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}b^2\cos^2(\alpha)$

3. Вычисление объема пирамиды (V)

Подставим найденные выражения для высоты $H$ и площади основания $S_{осн}$ в формулу объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{4}b^2\cos^2(\alpha)\right) \cdot (b\sin(\alpha))$

Сократим множитель 3 и объединим члены: $V = \frac{\sqrt{3}}{4}b^3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4}b^3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)$

19.10. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $b$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Поскольку пирамида правильная треугольная, в её основании лежит равносторонний треугольник. Найдём последовательно все необходимые величины.

Пусть сторона основания равна $a$. Боковые грани пирамиды — это равные равнобедренные треугольники. Каждая такая грань имеет две стороны, равные боковому ребру $b$, и угол между ними $\beta$. Сторона основания $a$ является третьей стороной этого треугольника. По теореме косинусов:

$a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos\beta = 2b^2(1 - \cos\beta)$

Применим формулу половинного угла $1 - \cos\beta = 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$:

$a^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 4b^2\sin^2(\frac{\beta}{2})$

Отсюда находим длину стороны основания:

$a = 2b\sin(\frac{\beta}{2})$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим в неё найденное ранее выражение для $a^2$:

$S_{осн} = \frac{4b^2\sin^2(\frac{\beta}{2})\sqrt{3}}{4} = b^2\sqrt{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})$

Высота $H$ правильной пирамиды проецируется в центр её основания, который является центром описанной окружности. Радиус $R$ этой окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$R = \frac{2b\sin(\frac{\beta}{2})}{\sqrt{3}}$

Высота $H$, боковое ребро $b$ и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $b$ — гипотенуза. Используя теорему Пифагора, найдём $H$:

$H^2 = b^2 - R^2 = b^2 - \left(\frac{2b\sin(\frac{\beta}{2})}{\sqrt{3}}\right)^2 = b^2 - \frac{4b^2\sin^2(\frac{\beta}{2})}{3} = b^2\left(1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})\right)$

Упростим выражение в скобках, используя формулу $ \sin^2(\frac{\beta}{2}) = \frac{1-\cos\beta}{2} $:

$1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{1-\cos\beta}{2} = 1 - \frac{2(1-\cos\beta)}{3} = \frac{3 - 2 + 2\cos\beta}{3} = \frac{1+2\cos\beta}{3}$

Таким образом, для квадрата высоты получаем:

$H^2 = b^2 \frac{1+2\cos\beta}{3}$

Следовательно, высота равна:

$H = b\sqrt{\frac{1+2\cos\beta}{3}}$

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \left(b^2\sqrt{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})\right) \cdot \left(b\sqrt{\frac{1+2\cos\beta}{3}}\right) = \frac{b^3\sqrt{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})}{3} \cdot \frac{\sqrt{1+2\cos\beta}}{\sqrt{3}}$

После сокращения $\sqrt{3}$ получаем искомый объём.

Ответ: $V = \frac{1}{3} b^3 \sin^2(\frac{\beta}{2}) \sqrt{1+2\cos\beta}$

19.11. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $b$ и образует со стороной основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — её вершина. Боковое ребро равно $b$, то есть $SA=SB=SC=SD=b$. Сторону основания обозначим через $a$.

По условию, боковое ребро образует со стороной основания угол $\alpha$. Рассмотрим боковую грань, например, треугольник $SAB$. Так как пирамида правильная, её боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, в треугольнике $SAB$ стороны $SA=SB=b$. Углы при основании этого треугольника равны $\alpha$, то есть $\angle SAB = \angle SBA = \alpha$.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для нахождения объёма необходимо последовательно найти сторону основания, площадь основания и высоту пирамиды.

1. Нахождение стороны основания (a)

Рассмотрим равнобедренный треугольник $SAB$. Проведём в нём высоту $SM$ к основанию $AB$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $SAM$ гипотенуза $SA=b$, катет $AM$ равен половине стороны основания ($AM = \frac{a}{2}$), и угол $\angle SAM = \alpha$. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем: $ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AM}{SA} = \frac{a/2}{b} $ Выразим отсюда сторону основания $a$: $ a = 2b \cos(\alpha) $

2. Нахождение площади основания (Sосн)

Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле: $ S_{осн} = a^2 = (2b \cos(\alpha))^2 = 4b^2 \cos^2(\alpha) $

3. Нахождение высоты пирамиды (H)

Высота правильной пирамиды $H=SO$ опускается из вершины $S$ в центр основания $O$, который является точкой пересечения диагоналей квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. В нём гипотенуза $SA = b$, один катет — это высота $SO = H$, а второй катет $AO$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Сначала найдём длину диагонали $d$ квадрата: $ d = a\sqrt{2} = (2b \cos(\alpha))\sqrt{2} = 2\sqrt{2}b \cos(\alpha) $ Тогда половина диагонали равна: $ AO = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}b \cos(\alpha)}{2} = \sqrt{2}b \cos(\alpha) $ Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику $SOA$ ($SA^2 = SO^2 + AO^2$): $ b^2 = H^2 + (\sqrt{2}b \cos(\alpha))^2 $ $ b^2 = H^2 + 2b^2 \cos^2(\alpha) $ Выразим $H^2$: $ H^2 = b^2 - 2b^2 \cos^2(\alpha) = b^2(1 - 2\cos^2(\alpha)) $ Отсюда высота $H$: $ H = \sqrt{b^2(1 - 2\cos^2(\alpha))} = b\sqrt{1 - 2\cos^2(\alpha)} $ (Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$, выражение под корнем можно записать как $-\cos(2\alpha)$).

4. Нахождение объёма пирамиды (V)

Теперь, когда у нас есть выражения для площади основания и высоты, мы можем вычислить объём: $ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H $ $ V = \frac{1}{3} (4b^2 \cos^2(\alpha)) \cdot (b\sqrt{1 - 2\cos^2(\alpha)}) $ $ V = \frac{4}{3} b^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{1 - 2\cos^2(\alpha)} $

Ответ: $ \frac{4}{3} b^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{1 - 2\cos^2(\alpha)} $.

19.12. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $3\sqrt{10}$ см, $3\sqrt{10}$ см и 6 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания пирамиды.

Основанием является равнобедренный треугольник со сторонами $a = 3\sqrt{10}$ см, $b = 3\sqrt{10}$ см и $c = 6$ см. Для нахождения площади проведём высоту $h_{осн}$ к основанию $c$. В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому она делит основание на два отрезка по $6 / 2 = 3$ см.

Найдём высоту $h_{осн}$ из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

$h_{осн}^2 + 3^2 = (3\sqrt{10})^2$

$h_{осн}^2 + 9 = 9 \cdot 10$

$h_{осн}^2 + 9 = 90$

$h_{осн}^2 = 90 - 9 = 81$

$h_{осн} = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ см².

2. Найдём высоту пирамиды.

Так как все боковые рёбра пирамиды равны ($l=13$ см), то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Таким образом, $H^2 + R^2 = l^2$.

Найдём радиус описанной окружности $R$ по формуле $R = \frac{abc}{4S_{осн}}$:

$R = \frac{3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10} \cdot 6}{4 \cdot 27} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 6}{108} = \frac{540}{108} = 5$ см.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$:

$H^2 + 5^2 = 13^2$

$H^2 + 25 = 169$

$H^2 = 169 - 25 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Найдём объём пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108$ см³.

Ответ: 108 см³.

19.13. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 24 см и 18 см, а каждое её боковое ребро равно 25 см. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $a = 24$ см и $b = 18$ см. Его площадь равна произведению сторон:

$S_{осн} = a \cdot b = 24 \cdot 18 = 432 \text{ см}^2$.

2. Нахождение высоты пирамиды

Поскольку все боковые рёбра пирамиды равны ($l = 25$ см), вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей. Высота пирамиды $H$, половина диагонали основания $R$ и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой.

Сначала найдём длину диагонали $d$ основания по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \text{ см}$.

Радиус описанной окружности $R$ (расстояние от центра до вершины прямоугольника) равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}$.

Теперь по теореме Пифагора найдём высоту $H$ из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и боковым ребром:

$H^2 + R^2 = l^2$

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$.

3. Вычисление объёма пирамиды

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 20 = 144 \cdot 20 = 2880 \text{ см}^3$.

Ответ: $2880 \text{ см}^3$.

19.14. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Пусть один катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Тогда второй катет можно найти через тангенс этого угла: $b = a \cdot \tan(\alpha)$.

Площадь прямоугольного треугольника (основания пирамиды) равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \tan(\alpha)) = \frac{1}{2} a^2 \tan(\alpha)$.

2. Нахождение высоты пирамиды.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине его гипотенузы.

Найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника в основании:

$c = \frac{a}{\cos(\alpha)}$.

Радиус $R$ описанной окружности равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на основание) и само боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и его проекцией $R$ равен $\beta$. Следовательно, высоту $H$ можно выразить через $R$ и $\tan(\beta)$:

$H = R \cdot \tan(\beta) = \frac{a}{2\cos(\alpha)} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}$.

3. Вычисление объёма пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \tan(\alpha)\right) \cdot \left(\frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}\right)$.

Упростив выражение, получим окончательный результат:

$V = \frac{a^3 \tan(\alpha) \tan(\beta)}{12 \cos(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \tan(\alpha) \tan(\beta)}{12 \cos(\alpha)}$.

19.15. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $b$. Угол между боковыми сторонами основания пирамиды равен $\beta$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью её основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для решения задачи нам необходимо найти эти две величины.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, у которого две боковые стороны равны $b$, а угол между ними равен $\beta$. Площадь такого треугольника находится по формуле "половина произведения двух сторон на синус угла между ними":

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} b^2 \sin\beta$.

2. Нахождение высоты пирамиды ($H$)

В условии сказано, что каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Расстояние от этого центра до любой вершины основания равно радиусу описанной окружности $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на основание) и самим боковым ребром. Угол между боковым ребром и его проекцией как раз равен $\alpha$. Из этого треугольника имеем соотношение:

$\tan\alpha = \frac{H}{R}$, откуда $H = R \cdot \tan\alpha$.

Теперь нам нужно найти радиус $R$ окружности, описанной около треугольника в основании. Сначала найдем третью сторону основания (обозначим ее $c$) по теореме косинусов:

$c^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos\beta = 2b^2(1 - \cos\beta)$.

Используя тригонометрическую формулу $1 - \cos\beta = 2\sin^2\frac{\beta}{2}$, получаем:

$c^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2\frac{\beta}{2} = 4b^2\sin^2\frac{\beta}{2}$, следовательно, $c = 2b\sin\frac{\beta}{2}$.

Радиус описанной окружности $R$ связан со стороной треугольника и противолежащим углом по формуле (следствие из теоремы синусов): $R = \frac{c}{2\sin\beta}$.

Подставим найденное значение $c$:

$R = \frac{2b\sin\frac{\beta}{2}}{2\sin\beta}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin\beta = 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$ для упрощения:

$R = \frac{2b\sin\frac{\beta}{2}}{2 \cdot (2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2})} = \frac{b}{2\cos\frac{\beta}{2}}$.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = R \cdot \tan\alpha = \frac{b \tan\alpha}{2\cos\frac{\beta}{2}}$.

3. Вычисление объёма пирамиды ($V$)

Подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} b^2 \sin\beta\right) \cdot \left(\frac{b \tan\alpha}{2\cos\frac{\beta}{2}}\right)$.

$V = \frac{b^3 \sin\beta \tan\alpha}{12\cos\frac{\beta}{2}}$.

Снова используем формулу $\sin\beta = 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$ для финального упрощения:

$V = \frac{b^3 \tan\alpha \cdot (2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2})}{12\cos\frac{\beta}{2}} = \frac{2b^3 \tan\alpha \sin\frac{\beta}{2}}{12} = \frac{1}{6} b^3 \tan\alpha \sin\frac{\beta}{2}$.

Ответ: $V = \frac{1}{6} b^3 \tan\alpha \sin\frac{\beta}{2}$.