Страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.16. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$.

Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Площадь ромба можно найти по формуле площади параллелограмма: произведение двух смежных сторон на синус угла между ними.

$S_{осн} = a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = a^2 \sin(\alpha)$

2. Найдем высоту пирамиды.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — ее проекция на основание (центр вписанной окружности). Высота пирамиды $H = SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $SO$, радиусом вписанной окружности $OK$ (где $K$ — точка касания окружности со стороной ромба) и апофемой боковой грани $SK$. В этом треугольнике $\triangle SOK$ катет $SO=H$, катет $OK=r$ (радиус вписанной окружности), а угол $\angle SKO = \beta$ (линейный угол двугранного угла при ребре основания).

Из этого треугольника находим высоту: $H = r \cdot \tan(\beta)$.

Теперь найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба $h_{ромба}$.

Высоту ромба можно найти из прямоугольного треугольника, образованного стороной ромба $a$, высотой $h_{ромба}$ и углом $\alpha$:

$h_{ромба} = a \sin(\alpha)$

Следовательно, радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$

Подставим значение $r$ в формулу для высоты пирамиды $H$:

$H = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \cdot \tan(\beta)$

3. Найдем объем пирамиды.

Теперь, когда у нас есть выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$, мы можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (a^2 \sin(\alpha)) \cdot \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan(\beta)\right)$

Упрощая выражение, получаем:

$V = \frac{a^3 \sin^2(\alpha) \tan(\beta)}{6}$

Ответ: $V = \frac{1}{6} a^3 \sin^2(\alpha) \tan(\beta)$

19.17. Основанием пирамиды является трапеция, параллельные стороны которой равны 4 см и 10 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$, а объём пирамиды равен $\frac{280}{3}$ $\text{см}^3$. Найдите высоту пирамиды.

Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Это также означает, что в трапецию, лежащую в основании, можно вписать окружность.

Пусть $H$ — высота пирамиды, а $r$ — радиус вписанной в трапецию окружности. Связь между ними и двугранным углом $\alpha = 45^\circ$ можно увидеть в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности (как перпендикуляром к стороне основания) и апофемой (высотой боковой грани). В этом треугольнике катеты — это $H$ и $r$, а угол при основании (равный $\alpha$) — это угол между апофемой и её проекцией на основание (радиусом $r$).

Таким образом, мы имеем соотношение: $ \tan(\alpha) = \frac{H}{r} $

Подставляя значение угла $\alpha = 45^\circ$, получаем: $ \tan(45^\circ) = \frac{H}{r} \Rightarrow 1 = \frac{H}{r} \Rightarrow H = r $

Высота трапеции, лежащей в основании, $h_{trap}$, равна диаметру вписанной в нее окружности: $ h_{trap} = 2r $

Так как $H = r$, то высота трапеции выражается через высоту пирамиды: $ h_{trap} = 2H $

Теперь найдём площадь основания пирамиды (площадь трапеции). Параллельные стороны трапеции равны $a = 10$ см и $b = 4$ см. $ S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{trap} = \frac{10+4}{2} \cdot (2H) = 7 \cdot 2H = 14H $ см².

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H $

Подставим известные значения и полученные выражения: $ \frac{280}{3} = \frac{1}{3} \cdot (14H) \cdot H $

Упростим уравнение: $ \frac{280}{3} = \frac{14H^2}{3} $

Домножим обе части на 3: $ 280 = 14H^2 $

Найдём $H^2$: $ H^2 = \frac{280}{14} = 20 $

Теперь найдём высоту $H$: $ H = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.

19.18. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Вычисление площади основания

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a=6$ см, $b=25$ см и $c=29$ см. Площадь этого треугольника можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона для нахождения площади основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см².

2. Вычисление высоты пирамиды

В условии сказано, что все двугранные углы при ребрах основания равны $60^\circ$. Это важное свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в треугольник основания (инцентр). Расстояние от этого центра до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$.

Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема боковой грани образуют прямоугольный треугольник. Угол между апофемой и радиусом $r$ (который является проекцией апофемы на основание) как раз и есть линейный угол двугранного угла, то есть $60^\circ$.

Таким образом, мы можем выразить высоту $H$ через радиус $r$ и тангенс этого угла:

$H = r \cdot \tan(60^\circ)$.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$.

$r = \frac{60}{30} = 2$ см.

Теперь найдем высоту $H$:

$H = 2 \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объёма пирамиды

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot 2\sqrt{3} = 20 \cdot 2\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $40\sqrt{3}$ см³.

19.19. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной $a$. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья наклонена к нему под углом $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Пусть $SABC$ — данная пирамида, основанием которой является правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$.

По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости. Пусть боковые грани $SAB$ и $SAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Их общей линией пересечения является боковое ребро $SA$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и его длина $SA$ является высотой $H$ пирамиды.

Третья боковая грань, $SBC$, наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Угол между плоскостью грани и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линией пересечения плоскостей $(SBC)$ и $(ABC)$ является сторона основания $BC$.

Для построения линейного угла проведем в плоскости основания высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, $AM$ является также и медианой. Теперь соединим точки $S$ и $M$. Прямая $SA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $AM$ — проекция наклонной $SM$ на эту плоскость. Поскольку $AM \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SM$ также перпендикулярна $BC$ ($SM \perp BC$).

Таким образом, угол $\angle SMA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SBC$ и основанием $ABC$. По условию, $\angle SMA = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAM$ (угол $\angle SAM = 90^\circ$, так как $SA \perp (ABC)$). В этом треугольнике катет $AM$ является высотой правильного треугольника $ABC$. Длина высоты правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды $H = SA$ из треугольника $SAM$: $\tan(\angle SMA) = \frac{SA}{AM} \implies SA = AM \cdot \tan(60^\circ)$. $H = SA = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2}$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Площадь основания $S_{осн}$ (правильного треугольника со стороной $a$) равна: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма: $V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right) \cdot \left(\frac{3a}{2}\right) = \frac{3a^3\sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$.

19.20. Прямоугольник $ABCD$ — основание пирамиды $MABCD$. Грани $ABM$ и $CBM$ перпендикулярны основанию пирамиды, грань $ADM$ образует с основанием угол $60^\circ$, грань $CDM$ — угол $30^\circ$. Высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите объём пирамиды.

По условию, грани $ABM$ и $CBM$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Плоскости $ABM$ и $CBM$ пересекаются по прямой $MB$, следовательно, ребро $MB$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Таким образом, $MB$ является высотой пирамиды.

Из условия известно, что высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$ см, значит $H = MB = 3\sqrt{3}$ см.

Основание пирамиды — прямоугольник $ABCD$. Чтобы найти его площадь, нужно определить длины его сторон $AB$ и $BC$.

Угол между гранью $ADM$ и основанием — это двугранный угол при ребре $AD$. Построим его линейный угол. Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB$ — перпендикуляр, $MA$ — наклонная, а $AB$ — ее проекция на плоскость основания. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то $AB \perp AD$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AB$) перпендикулярна прямой в плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($MA$) перпендикулярна этой прямой. Значит, $MA \perp AD$. Таким образом, угол $\angle MAB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ADM)$ и $(ABCD)$. По условию, $\angle MAB = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAB$ (угол $\angle MBA = 90^\circ$, так как $MB \perp (ABCD)$). Из соотношений в прямоугольном треугольнике: $tg(\angle MAB) = \frac{MB}{AB}$ Отсюда находим сторону $AB$: $AB = \frac{MB}{tg(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ см.

Аналогично найдем сторону $BC$. Угол между гранью $CDM$ и основанием — это двугранный угол при ребре $CD$. Построим его линейный угол. $MB$ — перпендикуляр, $MC$ — наклонная, а $BC$ — ее проекция. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BC \perp CD$. По теореме о трех перпендикулярах, $MC \perp CD$. Следовательно, угол $\angle MCB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(CDM)$ и $(ABCD)$. По условию, $\angle MCB = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCB$ (угол $\angle MBC = 90^\circ$). $tg(\angle MCB) = \frac{MB}{BC}$ Отсюда находим сторону $BC$: $BC = \frac{MB}{tg(30^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания пирамиды: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 3 \cdot 9 = 27$ см$^2$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{основания} \cdot H$: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot MB = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $27\sqrt{3}$ см$^3$.

19.21. Грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны основанию, а грань $DBC$ наклонена к основанию под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды, если $AB = BC = m$, $\angle BAC = \alpha$.

Поскольку грани $DAB$ и $DAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, то их линия пересечения, ребро $DA$, перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $DA$ является высотой пирамиды $H$.

Основанием пирамиды является треугольник $ABC$. По условию $AB = BC = m$, значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Углы при основании $AC$ равны, поэтому $\angle BCA = \angle BAC = \alpha$. Третий угол треугольника $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.

Площадь основания $S_{осн}$ можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$$S_{осн} = \frac{1}{2} m \cdot m \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha) = \frac{1}{2} m^2 \sin(2\alpha)$.

Грань $DBC$ наклонена к основанию под углом $\beta$. Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) измеряется линейным углом, который является углом между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной точке. Линией пересечения плоскостей $(DBC)$ и $(ABC)$ является прямая $BC$.

Проведем в плоскости основания высоту $AK$ к стороне $BC$. Таким образом, $AK \perp BC$. Поскольку $DA$ — высота пирамиды ($DA \perp (ABC)$), то $AK$ является проекцией наклонной $DK$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $AK$ перпендикулярна прямой $BC$, то и наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $BC$ ($DK \perp BC$).Следовательно, угол $\angle DKA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $DBC$ и основанием $ABC$. По условию $\angle DKA = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAK$ (прямой угол $\angle DAK$, так как $DA$ — высота). Из этого треугольника находим высоту пирамиды $H = DA$:$\tan(\angle DKA) = \frac{DA}{AK} \Rightarrow \tan(\beta) = \frac{H}{AK}$$H = AK \cdot \tan(\beta)$.

Найдем длину $AK$ из площади треугольника $ABC$. Формула площади также может быть выражена как $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AK$. Приравняем два выражения для площади основания:$\frac{1}{2} m^2 \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} m \cdot AK$Отсюда $AK = m \sin(2\alpha)$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:$H = AK \cdot \tan(\beta) = m \sin(2\alpha) \tan(\beta)$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Подставим найденные значения площади основания и высоты:$V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} m^2 \sin(2\alpha) \right) \cdot (m \sin(2\alpha) \tan(\beta))$$V = \frac{1}{6} m^3 \sin^2(2\alpha) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{6} m^3 \sin^2(2\alpha) \tan(\beta)$.

19.22. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны $a$ и $b$, $a > b$. Двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} H (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ – высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований (большего и меньшего соответственно).

1. Найдём площади оснований.

В основании правильной треугольной усечённой пирамиды лежат правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$.

Площадь большего основания со стороной $a$:

$S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Площадь меньшего основания со стороной $b$:

$S_2 = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Найдём высоту усечённой пирамиды $H$.

Двугранный угол при ребре большего основания $\alpha$ – это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. Его можно найти, рассмотрев сечение, перпендикулярное ребру основания и проходящее через апофему боковой грани.

Пусть $r_1$ и $r_2$ – радиусы окружностей, вписанных в большее и меньшее основания соответственно. Для равностороннего треугольника со стороной $s$ радиус вписанной окружности (он же апофема основания) равен $r = \frac{s\sqrt{3}}{6}$.

Тогда для наших оснований:

$r_1 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

$r_2 = \frac{b\sqrt{3}}{6}$

Высоту $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются сама высота $H$ и разность радиусов $r_1 - r_2$, а противолежащий высоте $H$ угол равен $\alpha$.

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r_1 - r_2}$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = (r_1 - r_2) \tan(\alpha) = \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{b\sqrt{3}}{6}\right) \tan(\alpha) = \frac{(a-b)\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)$

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $H$ в исходную формулу объёма.

Сначала найдём сумму площадей в скобках:

$S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + b^2) + \sqrt{\frac{3a^2b^2}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + b^2) + \frac{ab\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + ab + b^2)$

Теперь подставим всё в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot H \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{(a-b)\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + ab + b^2)\right)$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{1}{3 \cdot 6 \cdot 4} \cdot (a-b) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \cdot \tan(\alpha) \cdot (a^2 + ab + b^2)$

$V = \frac{3}{72} \cdot (a-b)(a^2 + ab + b^2) \cdot \tan(\alpha)$

Применяя формулу разности кубов $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ и сокращая дробь, получаем окончательный результат:

$V = \frac{1}{24} (a^3 - b^3) \tan(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{1}{24} (a^3 - b^3) \tan(\alpha)$

19.23. На рисунке 19.12 изображён бункер для зерна, имеющий форму правильной четырёхугольной усечённой пирамиды (размеры на рисунке даны в сантиметрах). Сколько тонн зерна можно засыпать в такой бункер, если масса 1 м³ зерна составляет 800 кг?

Рис. 19.12

Для того чтобы определить, сколько тонн зерна можно засыпать в бункер, необходимо сначала найти его объём, а затем, зная массу 1 м³ зерна, вычислить общую массу и выразить её в тоннах.

Вычисление объёма бункера
Бункер имеет форму правильной четырёхугольной усечённой пирамиды. Объём усечённой пирамиды ($V$) вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$
где $h$ — высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.
Размеры на рисунке даны в сантиметрах. Переведём их в метры, так как масса зерна указана для кубического метра:
Сторона верхнего основания: $a = 250 \text{ см} = 2.5 \text{ м}$.
Сторона нижнего основания: $b = 150 \text{ см} = 1.5 \text{ м}$.
Высота: $h = 240 \text{ см} = 2.4 \text{ м}$.
Поскольку пирамида правильная, её основаниями являются квадраты. Найдём их площади:
Площадь верхнего основания: $S_1 = a^2 = (2.5 \text{ м})^2 = 6.25 \text{ м}^2$.
Площадь нижнего основания: $S_2 = b^2 = (1.5 \text{ м})^2 = 2.25 \text{ м}^2$.
Теперь подставим все полученные значения в формулу для расчёта объёма:
$V = \frac{1}{3} \cdot 2.4 \cdot (6.25 + 2.25 + \sqrt{6.25 \cdot 2.25})$
$V = 0.8 \cdot (8.5 + \sqrt{14.0625})$
$V = 0.8 \cdot (8.5 + 3.75)$
$V = 0.8 \cdot 12.25 = 9.8 \text{ м}^3$.

Вычисление массы зерна
По условию, масса 1 м³ зерна составляет 800 кг. Рассчитаем массу ($m$) зерна, которое вмещает бункер:
$m = V \cdot 800 \text{ кг/м}^3 = 9.8 \text{ м}^3 \cdot 800 \text{ кг/м}^3 = 7840 \text{ кг}$.
Для ответа на вопрос задачи переведём массу из килограммов в тонны, зная, что 1 тонна = 1000 кг:
$m = \frac{7840 \text{ кг}}{1000} = 7.84 \text{ т}$.
Ответ: в такой бункер можно засыпать 7,84 тонны зерна.

19.24. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны $a$ и $b$, $a > b$. Угол между боковым ребром пирамиды и большим основанием равен $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Рис. 19.12

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$ V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) $,

где $H$ – высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты. Площадь большего основания со стороной $a$ равна $S_1 = a^2$. Площадь меньшего основания со стороной $b$ равна $S_2 = b^2$.

Подставим площади оснований в формулу объёма:

$ V = \frac{1}{3}H(a^2 + b^2 + \sqrt{a^2 b^2}) = \frac{1}{3}H(a^2 + b^2 + ab) $.

Для нахождения объёма необходимо определить высоту $H$. Рассмотрим диагональное сечение усечённой пирамиды. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, основаниями которой являются диагонали квадратов ($d_1 = a\sqrt{2}$ и $d_2 = b\sqrt{2}$), а боковыми сторонами – боковые рёбра пирамиды.

Угол $\alpha$ между боковым ребром и большим основанием — это угол между боковой стороной трапеции и её большим основанием. Проведём высоту в этой трапеции из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, в котором одним катетом является высота пирамиды $H$, а другим катетом — отрезок, равный полуразности диагоналей оснований.

Длина этого катета равна:

$ k = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{a\sqrt{2} - b\sqrt{2}}{2} = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} $.

В этом прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, мы можем выразить высоту через тангенс угла $\alpha$:

$ \tan\alpha = \frac{H}{k} \Rightarrow H = k \cdot \tan\alpha $.

Подставим выражение для $k$:

$ H = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} \tan\alpha $.

Теперь подставим найденную высоту $H$ в формулу для объёма:

$ V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} \tan\alpha \right) \cdot (a^2 + b^2 + ab) $.

Сгруппируем множители и воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для упрощения выражения:

$ V = \frac{\sqrt{2}}{6} \tan\alpha \cdot (a-b)(a^2 + ab + b^2) $

$ V = \frac{\sqrt{2}}{6}(a^3 - b^3)\tan\alpha $.

Ответ: $ V = \frac{\sqrt{2}}{6}(a^3 - b^3)\tan\alpha $.

19.25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 60°. Высота пирамиды разделена на 3 равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объём усечённой пирамиды, которую эти плоскости отсекают от исходной пирамиды.

Обозначим сторону основания правильной шестиугольной пирамиды как $a$, а ее высоту как $H$. По условию $a = 12$ см. Высота пирамиды разделена на 3 равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Это означает, что исходная пирамида рассекается на три части: верхнюю маленькую пирамиду, среднюю усеченную пирамиду и нижнюю усеченную пирамиду. Нам нужно найти объем средней усеченной пирамиды.

1. Нахождение высоты и площади основания исходной пирамиды

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 12$ см. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
Подставим значение $a$: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 144 = 3\sqrt{3} \cdot 72 = 216\sqrt{3}$ см².

Двугранный угол при ребре основания равен $60^\circ$. Этот угол образуется апофемой боковой грани и радиусом вписанной в основание окружности (который также является апофемой основания). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике высота $H$ и апофема основания $r$ являются катетами. Угол между апофемой боковой грани и апофемой основания равен заданному двугранному углу $60^\circ$.

Апофема правильного шестиугольника (радиус вписанной окружности) вычисляется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$r = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника можем найти высоту пирамиды $H$: $\tan(60^\circ) = \frac{H}{r}$
$H = r \cdot \tan(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

2. Вычисление объема исходной пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$
$V = \frac{1}{3} \cdot 216\sqrt{3} \cdot 18 = 216\sqrt{3} \cdot 6 = 1296\sqrt{3}$ см³.

3. Нахождение объема искомой усеченной пирамиды

Высота $H$ разделена на 3 равные части. Обозначим вершину пирамиды как $S$. Плоскости, параллельные основанию, отсекают от исходной пирамиды две меньшие пирамиды, подобные ей.

Первая плоскость (ближняя к вершине) находится на расстоянии $\frac{H}{3}$ от вершины. Она отсекает малую пирамиду объемом $V_1$.
Вторая плоскость находится на расстоянии $\frac{2H}{3}$ от вершины. Она отсекает пирамиду объемом $V_2$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия (отношения их линейных размеров, например, высот).

Для пирамиды объемом $V_1$ коэффициент подобия $k_1 = \frac{H/3}{H} = \frac{1}{3}$.
Ее объем: $V_1 = k_1^3 \cdot V = (\frac{1}{3})^3 \cdot V = \frac{1}{27}V$.

Для пирамиды объемом $V_2$ коэффициент подобия $k_2 = \frac{2H/3}{H} = \frac{2}{3}$.
Ее объем: $V_2 = k_2^3 \cdot V = (\frac{2}{3})^3 \cdot V = \frac{8}{27}V$.

Искомая усеченная пирамида — это часть пирамиды, заключенная между двумя секущими плоскостями. Ее объем $V_{усеч}$ равен разности объемов пирамиды $V_2$ и пирамиды $V_1$:
$V_{усеч} = V_2 - V_1 = \frac{8}{27}V - \frac{1}{27}V = \frac{7}{27}V$.

Теперь подставим найденное значение объема исходной пирамиды $V$:
$V_{усеч} = \frac{7}{27} \cdot 1296\sqrt{3}$
Выполним вычисление: $V_{усеч} = 7 \cdot \frac{1296}{27} \sqrt{3} = 7 \cdot 48 \sqrt{3} = 336\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $336\sqrt{3}$ см³.