Номер 19.22, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.22. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны $a$ и $b$, $a > b$. Двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} H (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ – высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований (большего и меньшего соответственно).

1. Найдём площади оснований.

В основании правильной треугольной усечённой пирамиды лежат правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$.

Площадь большего основания со стороной $a$:

$S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Площадь меньшего основания со стороной $b$:

$S_2 = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Найдём высоту усечённой пирамиды $H$.

Двугранный угол при ребре большего основания $\alpha$ – это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. Его можно найти, рассмотрев сечение, перпендикулярное ребру основания и проходящее через апофему боковой грани.

Пусть $r_1$ и $r_2$ – радиусы окружностей, вписанных в большее и меньшее основания соответственно. Для равностороннего треугольника со стороной $s$ радиус вписанной окружности (он же апофема основания) равен $r = \frac{s\sqrt{3}}{6}$.

Тогда для наших оснований:

$r_1 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

$r_2 = \frac{b\sqrt{3}}{6}$

Высоту $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются сама высота $H$ и разность радиусов $r_1 - r_2$, а противолежащий высоте $H$ угол равен $\alpha$.

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r_1 - r_2}$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = (r_1 - r_2) \tan(\alpha) = \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{b\sqrt{3}}{6}\right) \tan(\alpha) = \frac{(a-b)\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)$

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $H$ в исходную формулу объёма.

Сначала найдём сумму площадей в скобках:

$S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + b^2) + \sqrt{\frac{3a^2b^2}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + b^2) + \frac{ab\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + ab + b^2)$

Теперь подставим всё в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot H \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{(a-b)\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + ab + b^2)\right)$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{1}{3 \cdot 6 \cdot 4} \cdot (a-b) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \cdot \tan(\alpha) \cdot (a^2 + ab + b^2)$

$V = \frac{3}{72} \cdot (a-b)(a^2 + ab + b^2) \cdot \tan(\alpha)$

Применяя формулу разности кубов $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ и сокращая дробь, получаем окончательный результат:

$V = \frac{1}{24} (a^3 - b^3) \tan(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{1}{24} (a^3 - b^3) \tan(\alpha)$