Номер 19.17, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.17. Основанием пирамиды является трапеция, параллельные стороны которой равны 4 см и 10 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$, а объём пирамиды равен $\frac{280}{3}$ $\text{см}^3$. Найдите высоту пирамиды.

Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Это также означает, что в трапецию, лежащую в основании, можно вписать окружность.

Пусть $H$ — высота пирамиды, а $r$ — радиус вписанной в трапецию окружности. Связь между ними и двугранным углом $\alpha = 45^\circ$ можно увидеть в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности (как перпендикуляром к стороне основания) и апофемой (высотой боковой грани). В этом треугольнике катеты — это $H$ и $r$, а угол при основании (равный $\alpha$) — это угол между апофемой и её проекцией на основание (радиусом $r$).

Таким образом, мы имеем соотношение: $ \tan(\alpha) = \frac{H}{r} $

Подставляя значение угла $\alpha = 45^\circ$, получаем: $ \tan(45^\circ) = \frac{H}{r} \Rightarrow 1 = \frac{H}{r} \Rightarrow H = r $

Высота трапеции, лежащей в основании, $h_{trap}$, равна диаметру вписанной в нее окружности: $ h_{trap} = 2r $

Так как $H = r$, то высота трапеции выражается через высоту пирамиды: $ h_{trap} = 2H $

Теперь найдём площадь основания пирамиды (площадь трапеции). Параллельные стороны трапеции равны $a = 10$ см и $b = 4$ см. $ S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{trap} = \frac{10+4}{2} \cdot (2H) = 7 \cdot 2H = 14H $ см².

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H $

Подставим известные значения и полученные выражения: $ \frac{280}{3} = \frac{1}{3} \cdot (14H) \cdot H $

Упростим уравнение: $ \frac{280}{3} = \frac{14H^2}{3} $

Домножим обе части на 3: $ 280 = 14H^2 $

Найдём $H^2$: $ H^2 = \frac{280}{14} = 20 $

Теперь найдём высоту $H$: $ H = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.