Номер 19.24, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.24. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны $a$ и $b$, $a > b$. Угол между боковым ребром пирамиды и большим основанием равен $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Рис. 19.12

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$ V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) $,

где $H$ – высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты. Площадь большего основания со стороной $a$ равна $S_1 = a^2$. Площадь меньшего основания со стороной $b$ равна $S_2 = b^2$.

Подставим площади оснований в формулу объёма:

$ V = \frac{1}{3}H(a^2 + b^2 + \sqrt{a^2 b^2}) = \frac{1}{3}H(a^2 + b^2 + ab) $.

Для нахождения объёма необходимо определить высоту $H$. Рассмотрим диагональное сечение усечённой пирамиды. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, основаниями которой являются диагонали квадратов ($d_1 = a\sqrt{2}$ и $d_2 = b\sqrt{2}$), а боковыми сторонами – боковые рёбра пирамиды.

Угол $\alpha$ между боковым ребром и большим основанием — это угол между боковой стороной трапеции и её большим основанием. Проведём высоту в этой трапеции из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, в котором одним катетом является высота пирамиды $H$, а другим катетом — отрезок, равный полуразности диагоналей оснований.

Длина этого катета равна:

$ k = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{a\sqrt{2} - b\sqrt{2}}{2} = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} $.

В этом прямоугольном треугольнике высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, мы можем выразить высоту через тангенс угла $\alpha$:

$ \tan\alpha = \frac{H}{k} \Rightarrow H = k \cdot \tan\alpha $.

Подставим выражение для $k$:

$ H = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} \tan\alpha $.

Теперь подставим найденную высоту $H$ в формулу для объёма:

$ V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2} \tan\alpha \right) \cdot (a^2 + b^2 + ab) $.

Сгруппируем множители и воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для упрощения выражения:

$ V = \frac{\sqrt{2}}{6} \tan\alpha \cdot (a-b)(a^2 + ab + b^2) $

$ V = \frac{\sqrt{2}}{6}(a^3 - b^3)\tan\alpha $.

Ответ: $ V = \frac{\sqrt{2}}{6}(a^3 - b^3)\tan\alpha $.