Номер 19.26, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.26. Высота пирамиды равна 27 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию этой пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, площади оснований которой равны 32 $см^2$ и 162 $см^2$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, $h_2$ — высота отсеченной (меньшей) пирамиды, а $h_1$ — высота усеченной пирамиды. Пусть $S_1$ — площадь основания исходной пирамиды (которое является большим основанием усеченной пирамиды), а $S_2$ — площадь сечения (которое является меньшим основанием усеченной пирамиды).

По условию задачи нам даны:
Высота исходной пирамиды $H = 27$ см.
Площадь большего основания $S_1 = 162$ см$^2$.
Площадь меньшего основания $S_2 = 32$ см$^2$.

Отсеченная плоскостью пирамида подобна исходной. Для подобных пирамид отношение площадей их оснований равно квадрату отношения их высот:$$ \frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{h_2}{H}\right)^2 $$

Подставим известные значения и найдем высоту меньшей пирамиды $h_2$:$$ \frac{32}{162} = \left(\frac{h_2}{27}\right)^2 $$Сократим дробь в левой части уравнения:$$ \frac{16}{81} = \left(\frac{h_2}{27}\right)^2 $$Извлечем квадратный корень из обеих частей:$$ \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{h_2}{27} $$$$ \frac{4}{9} = \frac{h_2}{27} $$Отсюда выразим и вычислим $h_2$:$$ h_2 = \frac{4}{9} \cdot 27 = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} $$

Высота усеченной пирамиды $h_1$ равна разности высот исходной и отсеченной пирамид:$$ h_1 = H - h_2 = 27 - 12 = 15 \text{ см} $$

Теперь можем найти объем усеченной пирамиды по формуле:$$ V_{\text{ус.пир.}} = \frac{1}{3} h_1 (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) $$

Подставим наши значения в эту формулу. Сначала вычислим среднее геометрическое площадей оснований:$$ \sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{162 \cdot 32} = \sqrt{5184} = 72 \text{ см}^2 $$Теперь вычислим объем:$$ V_{\text{ус.пир.}} = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot (162 + 72 + 32) $$$$ V_{\text{ус.пир.}} = 5 \cdot (266) $$$$ V_{\text{ус.пир.}} = 1330 \text{ см}^3 $$

Ответ: $1330$ см$^3$.