Номер 19.33, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.33. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при её боковом ребре равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. Сторона основания $AB = a$. Пусть $SO = H$ — высота пирамиды, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$).

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Площадь основания (квадрата) равна $S_{осн} = a^2$. Наша задача — найти высоту $H$.

Двугранный угол при боковом ребре, например, при ребре $SB$, — это угол между плоскостями боковых граней $(SAB)$ и $(SBC)$. По условию, этот угол равен $\alpha$.

Для измерения этого угла построим его линейный угол. Проведём плоскость, перпендикулярную ребру $SB$. Для этого из точки $A$ в плоскости $(SAB)$ опустим перпендикуляр $AK$ на ребро $SB$ ($AK \perp SB$). Поскольку пирамида правильная, её боковые грани $(SAB)$ и $(SBC)$ являются равными равнобедренными треугольниками. Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на ребро $SB$, попадёт в ту же точку $K$, то есть $CK \perp SB$.

Таким образом, угол $\angle AKC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $SB$, и по условию $\angle AKC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. Он равнобедренный, так как $AK = CK$ (как высоты в равных треугольниках $SAB$ и $SBC$). Основание этого треугольника — диагональ квадрата $AC$. Длина диагонали $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Точка $O$ — середина $AC$. Отрезок $KO$ является медианой в равнобедренном треугольнике $AKC$, а значит, и его высотой и биссектрисой. Следовательно, $KO \perp AC$ и $\angle AKO = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$. Катет $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Мы можем выразить сторону $AK$ через $AO$ и угол $\frac{\alpha}{2}$:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AO}{AK} \Rightarrow AK = \frac{AO}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a\sqrt{2}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$. Пусть $l$ — длина бокового ребра (например, $SB$), а $h_a$ — апофема (высота боковой грани, проведённая из вершины $S$, например $SM \perp AB$).

Из прямоугольного треугольника $SOB$: $l^2 = SB^2 = SO^2 + OB^2 = H^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = H^2 + \frac{a^2}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $SOM$: $h_a^2 = SM^2 = SO^2 + OM^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 = H^2 + \frac{a^2}{4}$.

Площадь боковой грани, треугольника $SAB$, можно вычислить двумя способами:

$S_{SAB} = \frac{1}{2} AB \cdot SM = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

$S_{SAB} = \frac{1}{2} SB \cdot AK = \frac{1}{2} l \cdot AK$

Приравнивая эти выражения, получаем: $a \cdot h_a = l \cdot AK$.

Подставим выражения для $h_a$, $l$ и $AK$:

$a \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{2}} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Сократим на $a$ и возведём обе части в квадрат:

$H^2 + \frac{a^2}{4} = (H^2 + \frac{a^2}{2}) \cdot \frac{2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{H^2 + \frac{a^2}{2}}{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Умножим обе части на $2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$2\sin^2(\frac{\alpha}{2})(H^2 + \frac{a^2}{4}) = H^2 + \frac{a^2}{2}$.

$2H^2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \frac{a^2}{2}\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = H^2 + \frac{a^2}{2}$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $H^2$ и $a^2$:

$H^2(2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - 1) = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2}\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

$H^2(2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - 1) = \frac{a^2}{2}(1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2}))$.

Используем тригонометрические формулы: $2\sin^2(x) - 1 = -\cos(2x)$ и $1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)$.

$H^2(-\cos\alpha) = \frac{a^2}{2}\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

$H^2 = -\frac{a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\cos\alpha}$.

Для существования пирамиды с такими параметрами необходимо, чтобы $H^2 > 0$. Так как $a^2 > 0$ и $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) > 0$, то должно выполняться условие $-\cos\alpha > 0$, то есть $\cos\alpha < 0$. Это означает, что угол $\alpha$ является тупым ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), что соответствует геометрии задачи.

Извлекая корень, находим высоту:

$H = \sqrt{-\frac{a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\cos\alpha}} = a\cos(\frac{\alpha}{2}) \frac{1}{\sqrt{-2\cos\alpha}}$.

Теперь можем найти объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} a^2 \cdot \left( a\cos(\frac{\alpha}{2}) \frac{1}{\sqrt{-2\cos\alpha}} \right) = \frac{a^3\cos(\frac{\alpha}{2})}{3\sqrt{-2\cos\alpha}}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \cos(\frac{\alpha}{2})}{3\sqrt{-2\cos\alpha}}$.