Номер 19.37, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.37. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузами $a$ и $b$, $a > b$. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты оснований, перпендикулярны основаниям, а третья боковая грань образует с большим основанием угол $\beta$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой:
$V = \frac{1}{3} h (S + S_1 + \sqrt{S \cdot S_1})$, где $S$ и $S_1$ — площади большего и меньшего оснований соответственно, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площади оснований.
Основания — равнобедренные прямоугольные треугольники.
Для большего основания с гипотенузой $a$: пусть катеты равны $x$. По теореме Пифагора: $x^2 + x^2 = a^2$, откуда $2x^2 = a^2$, и $x^2 = \frac{a^2}{2}$.
Площадь большего основания: $S = \frac{1}{2} x \cdot x = \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.
Для меньшего основания с гипотенузой $b$: пусть катеты равны $y$. По теореме Пифагора: $y^2 + y^2 = b^2$, откуда $2y^2 = b^2$, и $y^2 = \frac{b^2}{2}$.
Площадь меньшего основания: $S_1 = \frac{1}{2} y \cdot y = \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{b^2}{2} = \frac{b^2}{4}$.

2. Найдем высоту усеченной пирамиды.
По условию, две боковые грани, содержащие катеты оснований, перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что общее боковое ребро этих граней перпендикулярно основаниям и является высотой усеченной пирамиды. Обозначим вершины большего основания как $A, B, C$, где $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC$, $AB = a$. Вершины меньшего основания обозначим соответственно $A_1, B_1, C_1$. Тогда ребро $CC_1$ является высотой $h$ усеченной пирамиды.
Третья боковая грань $ABB_1A_1$, содержащая гипотенузы, образует с большим основанием угол $\beta$. Этот угол является двугранным углом между плоскостью грани $ABB_1A_1$ и плоскостью основания $ABC$.
Для измерения этого угла проведем высоты к общей линии $AB$ в треугольнике $ABC$ и в трапеции $ABB_1A_1$.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ проведем медиану (она же высота) $CM$ к гипотенузе $AB$. Длина медианы к гипотенузе равна половине гипотенузы: $CM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$.
Аналогично, в меньшем основании проведем высоту (медиану) $C_1M_1$ к гипотенузе $A_1B_1$: $C_1M_1 = \frac{A_1B_1}{2} = \frac{b}{2}$.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через $C$, $C_1$ и $M$. Это сечение $CMM_1C_1$ представляет собой прямоугольную трапецию, так как $CC_1 \perp CM$. Угол $\angle CMM_1$ и есть искомый линейный угол двугранного угла, то есть $\angle CMM_1 = \beta$.
Проведем в этой трапеции высоту $M_1K$ из точки $M_1$ на прямую $CM$. Получим прямоугольный треугольник $MKM_1$. В нем катет $M_1K$ равен высоте пирамиды $h$, а катет $KM$ равен разности оснований трапеции:
$M_1K = CC_1 = h$
$KM = CM - CK = CM - C_1M_1 = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}$.
Из треугольника $MKM_1$: $\tan(\beta) = \frac{M_1K}{KM} = \frac{h}{(a-b)/2}$.
Отсюда находим высоту $h$: $h = \frac{a-b}{2} \tan(\beta)$.

3. Вычислим объем усеченной пирамиды.
Подставим найденные значения $S, S_1$ и $h$ в формулу объема:
$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{a-b}{2} \tan(\beta)\right) \cdot \left(\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{b^2}{4}}\right)$
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a-b}{2} \tan(\beta) \cdot \left(\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \frac{ab}{4}\right)$
$V = \frac{a-b}{6} \tan(\beta) \cdot \frac{a^2 + ab + b^2}{4}$
Воспользуемся формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$:
$V = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{24} \tan(\beta) = \frac{a^3 - b^3}{24} \tan(\beta)$.

Ответ: $\frac{a^3 - b^3}{24} \tan(\beta)$.