Страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.37. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузами $a$ и $b$, $a > b$. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты оснований, перпендикулярны основаниям, а третья боковая грань образует с большим основанием угол $\beta$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой:
$V = \frac{1}{3} h (S + S_1 + \sqrt{S \cdot S_1})$, где $S$ и $S_1$ — площади большего и меньшего оснований соответственно, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площади оснований.
Основания — равнобедренные прямоугольные треугольники.
Для большего основания с гипотенузой $a$: пусть катеты равны $x$. По теореме Пифагора: $x^2 + x^2 = a^2$, откуда $2x^2 = a^2$, и $x^2 = \frac{a^2}{2}$.
Площадь большего основания: $S = \frac{1}{2} x \cdot x = \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.
Для меньшего основания с гипотенузой $b$: пусть катеты равны $y$. По теореме Пифагора: $y^2 + y^2 = b^2$, откуда $2y^2 = b^2$, и $y^2 = \frac{b^2}{2}$.
Площадь меньшего основания: $S_1 = \frac{1}{2} y \cdot y = \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{b^2}{2} = \frac{b^2}{4}$.

2. Найдем высоту усеченной пирамиды.
По условию, две боковые грани, содержащие катеты оснований, перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что общее боковое ребро этих граней перпендикулярно основаниям и является высотой усеченной пирамиды. Обозначим вершины большего основания как $A, B, C$, где $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC$, $AB = a$. Вершины меньшего основания обозначим соответственно $A_1, B_1, C_1$. Тогда ребро $CC_1$ является высотой $h$ усеченной пирамиды.
Третья боковая грань $ABB_1A_1$, содержащая гипотенузы, образует с большим основанием угол $\beta$. Этот угол является двугранным углом между плоскостью грани $ABB_1A_1$ и плоскостью основания $ABC$.
Для измерения этого угла проведем высоты к общей линии $AB$ в треугольнике $ABC$ и в трапеции $ABB_1A_1$.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ проведем медиану (она же высота) $CM$ к гипотенузе $AB$. Длина медианы к гипотенузе равна половине гипотенузы: $CM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$.
Аналогично, в меньшем основании проведем высоту (медиану) $C_1M_1$ к гипотенузе $A_1B_1$: $C_1M_1 = \frac{A_1B_1}{2} = \frac{b}{2}$.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через $C$, $C_1$ и $M$. Это сечение $CMM_1C_1$ представляет собой прямоугольную трапецию, так как $CC_1 \perp CM$. Угол $\angle CMM_1$ и есть искомый линейный угол двугранного угла, то есть $\angle CMM_1 = \beta$.
Проведем в этой трапеции высоту $M_1K$ из точки $M_1$ на прямую $CM$. Получим прямоугольный треугольник $MKM_1$. В нем катет $M_1K$ равен высоте пирамиды $h$, а катет $KM$ равен разности оснований трапеции:
$M_1K = CC_1 = h$
$KM = CM - CK = CM - C_1M_1 = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}$.
Из треугольника $MKM_1$: $\tan(\beta) = \frac{M_1K}{KM} = \frac{h}{(a-b)/2}$.
Отсюда находим высоту $h$: $h = \frac{a-b}{2} \tan(\beta)$.

3. Вычислим объем усеченной пирамиды.
Подставим найденные значения $S, S_1$ и $h$ в формулу объема:
$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{a-b}{2} \tan(\beta)\right) \cdot \left(\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \sqrt{\frac{a^2}{4} \cdot \frac{b^2}{4}}\right)$
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a-b}{2} \tan(\beta) \cdot \left(\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + \frac{ab}{4}\right)$
$V = \frac{a-b}{6} \tan(\beta) \cdot \frac{a^2 + ab + b^2}{4}$
Воспользуемся формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$:
$V = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{24} \tan(\beta) = \frac{a^3 - b^3}{24} \tan(\beta)$.

Ответ: $\frac{a^3 - b^3}{24} \tan(\beta)$.

19.38. Основания усечённой пирамиды — квадраты со сторонами $a$ и $b$, $a > b$. Одна из боковых граней пирамиды является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям, а противолежащая ей грань образует с большим основанием угол $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

По условию, основаниями являются квадраты со сторонами $a$ и $b$. Следовательно, их площади равны:

$S_1 = a^2$

$S_2 = b^2$

Для нахождения объёма необходимо определить высоту $h$.

Пусть $A_1B_1C_1D_1$ — нижнее основание (со стороной $a$), а $A_2B_2C_2D_2$ — верхнее основание (со стороной $b$).

Одна из боковых граней, например $A_1B_1B_2A_2$, является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям. Это означает, что высота этой трапеции является высотой $h$ усечённой пирамиды. Пусть $K_1$ и $K_2$ — середины сторон $A_1B_1$ и $A_2B_2$ соответственно. Тогда отрезок $K_1K_2$ является высотой трапеции $A_1B_1B_2A_2$, и, следовательно, высотой всей усечённой пирамиды, т.е. $h = K_1K_2$. При этом $K_1K_2$ перпендикулярен плоскости основания.

Противолежащая грань $D_1C_1C_2D_2$ образует с большим основанием угол $\alpha$. Угол между плоскостью этой грани и плоскостью основания — это двугранный угол. Его можно измерить как угол между перпендикулярами, проведёнными к линии их пересечения $D_1C_1$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины противолежащих сторон оснований $A_1B_1$, $D_1C_1$ и $A_2B_2$, $D_2C_2$. Пусть $M_1$ и $M_2$ — середины сторон $D_1C_1$ и $D_2C_2$ соответственно. Сечением будет трапеция $K_1M_1M_2K_2$.

В этой трапеции:

• $K_1M_1$ — расстояние между серединами противолежащих сторон нижнего квадрата, поэтому $K_1M_1 = a$.
• $K_2M_2$ — расстояние между серединами противолежащих сторон верхнего квадрата, поэтому $K_2M_2 = b$.
• $K_1K_2$ — высота пирамиды $h$, и она перпендикулярна $K_1M_1$.

Таким образом, сечение $K_1M_1M_2K_2$ является прямоугольной трапецией с высотой $h=K_1K_2$ и основаниями $a$ и $b$.

Угол $\alpha$ — это угол между боковой гранью $D_1C_1C_2D_2$ и основанием. В нашем сечении этот угол соответствует углу $\angle M_2M_1K_1'$. Проведём из точки $M_2$ перпендикуляр $M_2M_1'$ на прямую $K_1M_1$. Тогда $M_2M_1' = h$, а длина катета $M_1M_1'$ равна разности оснований трапеции сечения: $M_1M_1' = K_1M_1 - K_1M_1' = K_1M_1 - K_2M_2 = a - b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle M_2M_1'M_1$. В нём:

$\tan{\alpha} = \frac{M_2M_1'}{M_1M_1'} = \frac{h}{a-b}$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = (a-b)\tan{\alpha}$

Теперь подставим найденную высоту и площади оснований в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot (a-b)\tan{\alpha} \cdot (a^2 + b^2 + \sqrt{a^2 b^2})$

$V = \frac{1}{3} (a-b)\tan{\alpha} (a^2 + b^2 + ab)$

Используя формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, получаем окончательное выражение для объёма:

$V = \frac{1}{3} (a^3 - b^3) \tan{\alpha}$

Ответ: $V = \frac{1}{3} (a^3 - b^3) \tan{\alpha}$

19.39. Основания усечённой пирамиды — правильные треугольники со сторонами $a$ и $b$, $a > b$. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна основаниям, а две другие образуют с большим основанием угол $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$,

где $H$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

1. Найдём площади оснований.

Основаниями являются правильные треугольники со сторонами $a$ и $b$. Площадь правильного треугольника со стороной $x$ равна $\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь большего основания:

$S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Площадь меньшего основания:

$S_2 = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдём высоту усечённой пирамиды H.

Рассмотрим полную пирамиду, из которой получена усечённая. Пусть $S$ — её вершина, а $ABC$ — большее основание со стороной $a$.

По условию, одна из боковых граней перпендикулярна основаниям. Пусть это грань $SBC$. Это означает, что высота полной пирамиды $SO$, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания $ABC$, лежит в плоскости грани $SBC$. Следовательно, основание высоты $O$ лежит на прямой $BC$.

Две другие боковые грани, $SAB$ и $SAC$, образуют с плоскостью основания равные углы $\alpha$. Двугранный угол между боковой гранью и основанием измеряется линейным углом, построенным в плоскости, перпендикулярной их общему ребру. Тангенс этого угла равен отношению высоты пирамиды $SO$ к расстоянию от точки $O$ до соответствующей стороны основания. Таким образом:

$\tan\alpha = \frac{SO}{d(O, AB)} = \frac{SO}{d(O, AC)}$

Отсюда следует, что $d(O, AB) = d(O, AC)$, то есть точка $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Геометрическим местом таких точек является биссектриса угла $BAC$.

Поскольку треугольник $ABC$ правильный, его биссектриса, проведённая из вершины $A$, является также медианой и высотой $AM$.

Таким образом, точка $O$ должна лежать как на прямой $BC$, так и на прямой $AM$. Их единственная точка пересечения — это точка $M$, середина стороны $BC$. Итак, высота полной пирамиды есть отрезок $SM$.

Теперь найдём длину высоты полной пирамиды $h_a = SM$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $SMK$, где $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на сторону $AB$. Угол $\angle SKM$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SAB$ и основанием $ABC$, поэтому $\angle SKM = \alpha$.

Длина отрезка $MK$ — это расстояние от середины стороны $BC$ до стороны $AB$. В правильном треугольнике $ABC$ проведём высоту $CL$ на сторону $AB$. Её длина $CL = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В треугольнике $BCL$ отрезок $MK$ параллелен $CL$ и соединяет середину стороны $BC$ (точку M) со стороной $BL$. Таким образом, $MK$ является средней линией треугольника $BCL$ относительно основания $CL$. Следовательно:

$MK = \frac{1}{2}CL = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Из прямоугольного треугольника $SMK$ находим высоту полной пирамиды:

$h_a = SM = MK \cdot \tan\alpha = \frac{a\sqrt{3}}{4}\tan\alpha$

Высота усечённой пирамиды $H$ — это разность высот полной пирамиды ($h_a$) и малой (отсечённой) пирамиды ($h_b$). Малая и полная пирамиды подобны с коэффициентом подобия $k = \frac{b}{a}$. Отношение их высот равно коэффициенту подобия:

$\frac{h_b}{h_a} = \frac{b}{a} \implies h_b = h_a \frac{b}{a}$

$H = h_a - h_b = h_a - h_a\frac{b}{a} = h_a\left(1-\frac{b}{a}\right) = h_a\frac{a-b}{a}$

Подставим найденное значение $h_a$:

$H = \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\tan\alpha\right) \cdot \frac{a-b}{a} = \frac{(a-b)\sqrt{3}}{4}\tan\alpha$

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $H$, $S_1$ и $S_2$ в формулу объёма.

Сначала вычислим выражение в скобках:

$S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4}} + \frac{b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{4} + \frac{b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+ab+b^2)$

Теперь вычислим объём:

$V = \frac{1}{3} \cdot H \cdot (S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{(a-b)\sqrt{3}}{4}\tan\alpha\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+ab+b^2)\right)$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(a-b) \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot (a^2+ab+b^2)}{16} \tan\alpha = \frac{1}{3} \cdot \frac{3(a-b)(a^2+ab+b^2)}{16} \tan\alpha$

Используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, получаем окончательный результат:

$V = \frac{a^3-b^3}{16}\tan\alpha$

Ответ: $V = \frac{a^3-b^3}{16}\tan\alpha$

19.40. Площади двух граней тетраэдра равны $S_1$ и $S_2$. Их общее ребро равно $a$, а двугранный угол тетраэдра при этом ребре равен $\alpha$. Докажите, что объём $V$ данного тетраэдра можно вычислить по формуле

$V = \frac{2S_1S_2 \sin \alpha}{3a}$.

Пусть в тетраэдре $DABC$ две грани $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ имеют площади $S_1$ и $S_2$ соответственно. Их общее ребро $AB$ имеет длину $a$, а двугранный угол при этом ребре равен $\alpha$.

Объем тетраэдра вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

Примем грань $\triangle ABC$ за основание тетраэдра. Тогда $S_{осн} = S_1$, и объем равен $V = \frac{1}{3} S_1 H$, где $H$ — высота, опущенная из вершины $D$ на плоскость $(ABC)$. Наша задача — выразить $H$ через заданные величины $S_1, S_2, a, \alpha$.

Для нахождения высоты $H$ введем декартову систему координат.

1. Расположим общее ребро $AB$ на оси $Ox$ так, чтобы вершина $A$ совпадала с началом координат $(0, 0, 0)$, а вершина $B$ имела координаты $(a, 0, 0)$.

2. Плоскость грани $\triangle ABC$ расположим в плоскости $Oxy$. Тогда вершина $C$ будет иметь координаты $(x_C, y_C, 0)$. Высота треугольника $\triangle ABC$, проведенная из вершины $C$ к основанию $AB$, будет равна $|y_C|$. Площадь этого треугольника равна $S_1 = \frac{1}{2} |AB| \cdot |y_C| = \frac{1}{2} a |y_C|$. Отсюда мы можем выразить $|y_C| = \frac{2S_1}{a}$.

3. Плоскость грани $\triangle ABD$ проходит через ребро $AB$ (то есть через ось $Ox$) и образует с плоскостью $(ABC)$ (плоскостью $Oxy$) двугранный угол $\alpha$. Это означает, что плоскость $(ABD)$ может быть получена поворотом плоскости $Oxy$ вокруг оси $Ox$ на угол $\alpha$.

4. Любая точка, лежащая в плоскости $(ABD)$, будет иметь координаты $(x, y' \cos\alpha, y' \sin\alpha)$, где $(x, y')$ — ее координаты в системе, связанной с самой плоскостью $(ABD)$. В частности, вершина $D$ будет иметь координаты $D(x_D, y'_D \cos\alpha, y'_D \sin\alpha)$.

5. Высота тетраэдра $H$ — это расстояние от вершины $D$ до плоскости основания $(ABC)$, то есть до плоскости $Oxy$. Эта высота равна модулю аппликаты ($z$-координаты) точки $D$.$H = |y'_D \sin\alpha| = |y'_D| \cdot |\sin\alpha|$. Поскольку $\alpha$ — угол между плоскостями, можно считать $0 \le \alpha \le \pi$, поэтому $\sin\alpha \ge 0$.$H = |y'_D| \sin\alpha$.

6. Величина $|y'_D|$ представляет собой расстояние от точки $D$ до оси вращения $Ox$ (ребра $AB$) в плоскости $(ABD)$. Это не что иное, как высота $h_D$ треугольника $\triangle ABD$, проведенная из вершины $D$ к стороне $AB$.

7. Площадь грани $\triangle ABD$ равна $S_2 = \frac{1}{2} |AB| \cdot h_D = \frac{1}{2} a h_D$. Отсюда выразим высоту $h_D$: $h_D = |y'_D| = \frac{2S_2}{a}$.

8. Теперь подставим выражение для $h_D$ в формулу для высоты тетраэдра $H$:$H = h_D \sin\alpha = \frac{2S_2}{a} \sin\alpha$.

9. Наконец, подставим найденную высоту $H$ в формулу для объема тетраэдра:$V = \frac{1}{3} S_1 H = \frac{1}{3} S_1 \left( \frac{2S_2 \sin\alpha}{a} \right) = \frac{2S_1S_2 \sin\alpha}{3a}$.

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Доказано, что объем тетраэдра вычисляется по формуле $V = \frac{2S_1S_2 \sin \alpha}{3a}$.

19.41. Площади граней $ABC$ и $DAB$ тетраэдра $DABC$ соответственно равны $S_1$ и $S_2$, а двугранный угол тетраэдра при ребре $AB$ равен $\alpha$. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и центр вписанной в тетраэдр сферы.

Пусть дан тетраэдр $DABC$. По условию, площади граней $ABC$ и $DAB$ равны соответственно $S_1$ и $S_2$, а двугранный угол при ребре $AB$ равен $\alpha$. Требуется найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и центр вписанной в тетраэдр сферы $O$.

Центр вписанной сферы (инцентр) тетраэдра равноудален от всех его четырех граней. Одним из свойств инцентра является то, что он лежит на биссекторных плоскостях всех двугранных углов тетраэдра.

Секущая плоскость $\Pi$ проходит через ребро $AB$ и инцентр $O$. Поскольку инцентр $O$ лежит на биссекторной плоскости двугранного угла при ребре $AB$, а сама эта плоскость также проходит через ребро $AB$, то секущая плоскость $\Pi$ и есть биссекторная плоскость двугранного угла при ребре $AB$. Это означает, что плоскость $\Pi$ делит двугранный угол $\alpha$ на два равных угла по $\alpha/2$.

Сечением тетраэдра является треугольник, проходящий через ребро $AB$. Обозначим этот треугольник $KAB$, где $K$ — точка пересечения секущей плоскости с ребром $CD$. Обозначим искомую площадь сечения как $S_{сеч} = S_{KAB}$.

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом объемов. Объем тетраэдра можно выразить через площади двух его граней, длину их общего ребра и синус двугранного угла между ними по формуле:$V = \frac{2 S_a S_b \sin\gamma}{3 c}$, где $S_a$ и $S_b$ — площади граней, $c$ — длина их общего ребра, а $\gamma$ — двугранный угол между гранями.

Применительно к нашему тетраэдру $DABC$ и граням $ABC$ и $DAB$, его объем равен:$V_{DABC} = \frac{2 S_1 S_2 \sin \alpha}{3 |AB|}$.

Секущая плоскость $KAB$ разделяет тетраэдр $DABC$ на два меньших тетраэдра: $KABC$ и $KABD$. Объем исходного тетраэдра равен сумме их объемов: $V_{DABC} = V_{KABC} + V_{KABD}$. Выразим объемы этих двух тетраэдров по той же формуле:

Для тетраэдра $KABC$ гранями являются $KAB$ (площадь $S_{сеч}$) и $ABC$ (площадь $S_1$), общее ребро — $AB$. Двугранный угол между плоскостями этих граней равен $\alpha/2$. Таким образом, его объем:$V_{KABC} = \frac{2 S_{сеч} S_1 \sin(\alpha/2)}{3 |AB|}$.

Для тетраэдра $KABD$ гранями являются $KAB$ (площадь $S_{сеч}$) и $DAB$ (площадь $S_2$), общее ребро — $AB$. Двугранный угол между плоскостями этих граней также равен $\alpha/2$. Его объем:$V_{KABD} = \frac{2 S_{сеч} S_2 \sin(\alpha/2)}{3 |AB|}$.

Теперь приравняем объем исходного тетраэдра сумме объемов его частей:$V_{DABC} = V_{KABC} + V_{KABD}$$\frac{2 S_1 S_2 \sin \alpha}{3 |AB|} = \frac{2 S_{сеч} S_1 \sin(\alpha/2)}{3 |AB|} + \frac{2 S_{сеч} S_2 \sin(\alpha/2)}{3 |AB|}$.

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{2}{3 |AB|}$:$S_1 S_2 \sin \alpha = S_{сеч} S_1 \sin(\alpha/2) + S_{сеч} S_2 \sin(\alpha/2)$$S_1 S_2 \sin \alpha = S_{сеч} (S_1 + S_2) \sin(\alpha/2)$.

Выразим искомую площадь $S_{сеч}$:$S_{сеч} = \frac{S_1 S_2 \sin \alpha}{(S_1 + S_2) \sin(\alpha/2)}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)$:$S_{сеч} = \frac{S_1 S_2 \cdot 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)}{(S_1 + S_2) \sin(\alpha/2)}$.

Поскольку двугранный угол тетраэдра $0 < \alpha < \pi$, то $\sin(\alpha/2) \neq 0$, и мы можем сократить на этот множитель:$S_{сеч} = \frac{2 S_1 S_2 \cos(\alpha/2)}{S_1 + S_2}$.

Ответ: Площадь сечения тетраэдра равна $\frac{2 S_1 S_2}{S_1 + S_2} \cos\frac{\alpha}{2}$.

19.42. Ребро $AA_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $d$. Площади граней $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ соответственно равны $S_1$ и $S_2$. Угол между этими гранями равен $\alpha$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём $V$ параллелепипеда можно вычислить как произведение площади его прямого сечения $S_{\perp}$ на длину бокового ребра $l$. В данном случае боковое ребро — это $AA_1$, и его длина по условию равна $d$. Таким образом, формула для объёма имеет вид:

$V = S_{\perp} \cdot d$

Прямое сечение — это сечение параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной боковому ребру $AA_1$. Такое сечение представляет собой параллелограмм. Найдём его площадь.

Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Это параллелограмм, площадь которого равна $S_1$. Площадь параллелограмма можно выразить как произведение его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Если взять ребро $AA_1$ в качестве стороны, то его длина равна $d$. Пусть $h_1$ — высота параллелограмма $ABB_1A_1$, проведённая к стороне $AA_1$. Тогда:

$S_1 = d \cdot h_1$

Отсюда можем выразить $h_1$:

$h_1 = \frac{S_1}{d}$

Аналогично рассмотрим грань $ADD_1A_1$, площадь которой равна $S_2$. Пусть $h_2$ — высота этого параллелограмма, проведённая к стороне $AA_1$. Тогда:

$S_2 = d \cdot h_2$

Отсюда выразим $h_2$:

$h_2 = \frac{S_2}{d}$

Длины $h_1$ и $h_2$ являются длинами сторон параллелограмма, который образует прямое сечение. Угол между этими сторонами равен двугранному углу между гранями $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$, так как высоты $h_1$ и $h_2$ по определению лежат в плоскостях этих граней и перпендикулярны их общему ребру $AA_1$. По условию задачи, этот угол равен $\alpha$.

Площадь прямого сечения $S_{\perp}$ (которое является параллелограммом со сторонами $h_1$, $h_2$ и углом $\alpha$ между ними) вычисляется по формуле:

$S_{\perp} = h_1 \cdot h_2 \cdot \sin(\alpha)$

Подставим найденные ранее выражения для $h_1$ и $h_2$:

$S_{\perp} = \frac{S_1}{d} \cdot \frac{S_2}{d} \cdot \sin(\alpha) = \frac{S_1 S_2 \sin(\alpha)}{d^2}$

Наконец, найдём объём параллелепипеда, подставив площадь прямого сечения в исходную формулу:

$V = S_{\perp} \cdot d = \frac{S_1 S_2 \sin(\alpha)}{d^2} \cdot d = \frac{S_1 S_2 \sin(\alpha)}{d}$

Ответ: $V = \frac{S_1 S_2 \sin(\alpha)}{d}$.

19.43. Ребро $AB$ тетраэдра $DABC$ равно $a$. Точка $M$ — середина ребра $CD$. Плоскость $AMB$ образует с плоскостями $ABC$ и $ABD$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Площадь треугольника $AMB$ равна $S$. Найдите объём тетраэдра $DABC$.

Для решения задачи воспользуемся методом проекций. Объём тетраэдра $DABC$ можно вычислить по формуле, связывающей его с длиной ребра $AB$ и площадью проекции тетраэдра на плоскость, перпендикулярную этому ребру.

1. Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MK$ на прямую $AB$. Длина этого перпендикуляра $MK$ является высотой треугольника $AMB$, опущенной на сторону $AB$. Обозначим её $h_M$. Площадь треугольника $AMB$ равна $S$, а длина стороны $AB$ равна $a$. Таким образом,$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_M = \frac{1}{2} a h_M$Отсюда находим высоту $h_M$:$h_M = \frac{2S}{a}$

2. Рассмотрим плоскость $\Pi$, проходящую через точку $K$ и перпендикулярную ребру $AB$. Спроектируем тетраэдр $DABC$ на эту плоскость.

• Ребро $AB$ проектируется в точку $K$.
• Вершины $C$ и $D$ проектируются в некоторые точки $C'$ и $D'$.
• Поскольку $M$ — середина отрезка $CD$, её проекция на плоскость $\Pi$ будет серединой проекции отрезка $C'D'$. Заметим, что точка $M$ уже лежит в плоскости, проходящей через $MK$ и перпендикулярной $AB$, поэтому $M$ проектируется сама в себя (если мы выберем плоскость $\Pi$ так, чтобы она содержала $M$). Таким образом, $M$ является серединой отрезка $C'D'$.
• Проекцией всего тетраэдра $DABC$ на плоскость $\Pi$ является треугольник $C'D'K$.

3. Объём тетраэдра $V$ связан с площадью этой проекции $S_{proj} = S_{C'D'K}$ и длиной ребра $AB=a$ следующей формулой:$V = \frac{1}{3} a \cdot S_{proj}$Наша задача сводится к нахождению площади треугольника $C'D'K$.

4. Рассмотрим ситуацию в плоскости $\Pi$.

• Прямая $KM$ является проекцией плоскости $AMB$ на плоскость $\Pi$.
• Прямая $KC'$ является проекцией плоскости $ABC$ на плоскость $\Pi$.
• Прямая $KD'$ является проекцией плоскости $ABD$ на плоскость $\Pi$.

Угол между плоскостями $(AMB)$ и $(ABC)$ равен $\alpha$, следовательно, угол между их проекциями на плоскость $\Pi$, прямыми $KM$ и $KC'$, также равен $\alpha$. То есть, $\angle MKC' = \alpha$. Аналогично, угол между плоскостями $(AMB)$ и $(ABD)$ равен $\beta$, следовательно, $\angle MKD' = \beta$. Поскольку вершины $C$ и $D$ находятся по разные стороны от плоскости $AMB$ (в невырожденном тетраэдре), их проекции $C'$ и $D'$ будут лежать по разные стороны от прямой $KM$.

5. Введём в плоскости $\Pi$ систему координат с центром в точке $K(0,0)$. Направим ось $Oy$ вдоль луча $KM$. Тогда точка $M$ имеет координаты $(0, h_M)$.

• Прямая $KC'$ проходит через начало координат и образует с осью $Oy$ угол $\alpha$. Её уравнение: $x = y \tan\alpha$.
• Прямая $KD'$ проходит через начало координат и образует с осью $Oy$ угол $-\beta$ (так как $D'$ по другую сторону от $KM$). Её уравнение: $x = y \tan(-\beta) = -y \tan\beta$.

Пусть координаты точки $C'$ равны $(x_{C'}, y_{C'})$. Тогда $x_{C'} = y_{C'} \tan\alpha$, или $y_{C'} = x_{C'} \cot\alpha$. Пусть координаты точки $D'$ равны $(x_{D'}, y_{D'})$. Тогда $y_{D'} = -x_{D'} \cot\beta$.

6. Точка $M(0, h_M)$ является серединой отрезка $C'D'$. Используем формулы для координат середины отрезка:$\frac{x_{C'} + x_{D'}}{2} = 0 \implies x_{D'} = -x_{C'}$$\frac{y_{C'} + y_{D'}}{2} = h_M \implies y_{C'} + y_{D'} = 2h_M$Подставим выражения для $y_{C'}$ и $y_{D'}$ через $x_{C'}$ и $x_{D'}$:$y_{C'} = x_{C'} \cot\alpha$$y_{D'} = -x_{D'} \cot\beta = -(-x_{C'}) \cot\beta = x_{C'} \cot\beta$Теперь подставим это в условие для суммы $y$-координат:$x_{C'} \cot\alpha + x_{C'} \cot\beta = 2h_M$$x_{C'} (\cot\alpha + \cot\beta) = 2h_M$Отсюда находим $x$-координату точки $C'$ (предполагая, что она положительна):$x_{C'} = \frac{2h_M}{\cot\alpha + \cot\beta}$

7. Теперь найдём площадь треугольника $C'D'K$. Основание $C'D'$ параллельно оси $Ox$, его длина равна $x_{C'} - x_{D'} = 2x_{C'}$. Высота, опущенная из точки $K$ на прямую $C'D'$... Это неверно. Площадь треугольника $C'D'K$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} |x_{C'}y_{D'} - x_{D'}y_{C'}|$.$S_{proj} = \frac{1}{2} |x_{C'}(x_{C'} \cot\beta) - (-x_{C'})(x_{C'} \cot\alpha)| = \frac{1}{2} |x_{C'}^2 \cot\beta + x_{C'}^2 \cot\alpha| = \frac{1}{2} x_{C'}^2 (\cot\alpha + \cot\beta)$Другой, более простой способ: площадь $S_{C'D'K}$ равна сумме площадей треугольников $KMC'$ и $KMD'$, так как $M$ - середина $C'D'$, а медиана $KM$ делит треугольник $C'D'K$ на два равновеликих треугольника. Это неверно, $KM$ не является медианой из вершины $K$. Воспользуемся формулой $S_{C'D'K} = \frac{1}{2} \cdot \text{высота от K до C'D'} \cdot |C'D'|$. Проще всего использовать $S_{proj} = S_{KMC'} + S_{KMD'}$. Прямая $C'D'$ не обязательно перпендикулярна $KM$. Проще всего так: $S_{proj} = \frac{1}{2} h_M \cdot |x_{D'} - x_{C'}| = \frac{1}{2} \cdot h_M \cdot 2|x_{C'}| = h_M |x_{C'}|$. (Высота треугольника $C'D'M$ из вершины $M$ равна $h_M - y_M'$, где $y_M'$ - координата середины $C'D'$, т.е. $y_M'=y_M$). Это сложно. Вернемся к координатной формуле $y_{C'} + y_{D'} = 2h_M$.$S_{proj} = h_M |x_{C'}| = h_M \cdot \frac{2h_M}{\cot\alpha + \cot\beta} = \frac{2h_M^2}{\cot\alpha + \cot\beta}$.

8. Подставим в эту формулу значение $h_M = \frac{2S}{a}$:$S_{proj} = \frac{2(\frac{2S}{a})^2}{\cot\alpha + \cot\beta} = \frac{2 \cdot \frac{4S^2}{a^2}}{\cot\alpha + \cot\beta} = \frac{8S^2}{a^2(\cot\alpha + \cot\beta)}$

9. Наконец, вычислим объём тетраэдра:$V = \frac{1}{3} a \cdot S_{proj} = \frac{1}{3} a \cdot \frac{8S^2}{a^2(\cot\alpha + \cot\beta)} = \frac{8S^2}{3a(\cot\alpha + \cot\beta)}$

Ответ: $V = \frac{8S^2}{3a(\cot\alpha + \cot\beta)}$

19.44. Объём призмы $ABCA_1B_1C_1$ равен $V$. На боковых рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM = MA_1$ и $BN : NB_1 = 1 : 2$. Найдите объём многогранника $MNCA_1B_1C_1$.

Пусть $V$ — объём призмы $ABCA_1B_1C_1$. Объём призмы вычисляется по формуле $V = S \cdot H$, где $S$ — площадь основания $ABC$, а $H$ — высота призмы (длина боковых рёбер, если призма прямая, или перпендикулярное расстояние между основаниями, если призма наклонная).

Найдём объём многогранника $MNCA_1B_1C_1$, вычитая из объёма всей призмы $V$ объём "отсечённого" многогранника $ABCMN$. Плоскость, проходящая через точки $M, N, C$, отсекает от призмы многогранник $ABCMN$.

Объём тела, отсечённого от призмы плоскостью, можно найти по формуле:$V_{\text{отсеч}} = S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{ср}}$,где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания призмы, а $h_{\text{ср}}$ — средняя высота точек сечения над вершинами основания. Для треугольного основания средняя высота вычисляется как среднее арифметическое высот сечения над тремя вершинами основания.

В нашем случае основанием является треугольник $ABC$. Высоты сечения (плоскости $MNC$) над вершинами $A, B, C$ — это длины отрезков, параллельных боковым рёбрам, от вершин до плоскости сечения. Обозначим эти высоты как $h_A, h_B, h_C$.

1. Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, и по условию $AM = MA_1$. Это означает, что $M$ — середина ребра $AA_1$. Высота точки $M$ над основанием $ABC$ равна половине высоты призмы. Таким образом, высота сечения над вершиной $A$ равна $h_A = AM = \frac{1}{2}H$.

2. Точка $N$ лежит на ребре $BB_1$, и по условию $BN : NB_1 = 1 : 2$. Это означает, что $BN = \frac{1}{1+2} BB_1 = \frac{1}{3} BB_1$. Высота точки $N$ над основанием $ABC$ равна одной трети высоты призмы. Таким образом, высота сечения над вершиной $B$ равна $h_B = BN = \frac{1}{3}H$.

3. Точка $C$ является одной из вершин сечения и лежит в плоскости основания. Следовательно, высота сечения над вершиной $C$ равна нулю: $h_C = 0$.

Теперь найдём среднюю высоту:$h_{\text{ср}} = \frac{h_A + h_B + h_C}{3} = \frac{\frac{1}{2}H + \frac{1}{3}H + 0}{3}$

$h_{\text{ср}} = \frac{\frac{3H + 2H}{6}}{3} = \frac{\frac{5H}{6}}{3} = \frac{5H}{18}$

Теперь мы можем вычислить объём отсечённого многогранника $ABCMN$:$V_{ABCMN} = S \cdot h_{\text{ср}} = S \cdot \frac{5H}{18} = \frac{5}{18} SH$

Поскольку объём всей призмы $V = S \cdot H$, то объём $ABCMN$ равен $\frac{5}{18}V$.

Искомый объём многогранника $MNCA_1B_1C_1$ — это объём оставшейся части призмы:$V_{MNCA_1B_1C_1} = V_{ABCA_1B_1C_1} - V_{ABCMN} = V - \frac{5}{18}V = \frac{18V - 5V}{18} = \frac{13}{18}V$

Ответ: $\frac{13}{18}V$

19.45. На боковых рёбрах $BB_1$ и $CC_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что плоскость $AMK$ делит данную призму на два равновеликих многогранника. Найдите отношение $CK : KC_1$, если $BM : MB_1 = 2 : 1$.

Пусть $L$ — длина боковых ребер призмы ($L = AA_1 = BB_1 = CC_1$), а $S_{\perp}$ — площадь ее перпендикулярного сечения. Объем всей призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{\perp} \cdot L$.

Плоскость $AMK$ отсекает от призмы многогранник $ABCKM$. Объем этого многогранника (усеченной призмы) можно найти по формуле, связывающей среднюю длину боковых ребер с площадью перпендикулярного сечения. Длины боковых ребер, отсчитываемые от плоскости основания $ABC$, для вершин $A$, $B$ и $C$ составляют:

• для вершины $A$: $l_A = 0$ (так как точка $A$ лежит в секущей плоскости);
• для вершины $B$: $l_B = BM$;
• для вершины $C$: $l_C = CK$.

Объем отсеченного многогранника $V_1$ равен произведению площади перпендикулярного сечения на среднюю длину этих ребер:$V_1 = S_{\perp} \cdot \frac{l_A + l_B + l_C}{3} = S_{\perp} \cdot \frac{0 + BM + CK}{3}$.

По условию задачи, плоскость $AMK$ делит призму на два равновеликих многогранника, то есть объем $V_1$ составляет половину объема всей призмы:$V_1 = \frac{1}{2}V$.

Подставим выражения для объемов в это равенство:$S_{\perp} \cdot \frac{BM + CK}{3} = \frac{1}{2} (S_{\perp} \cdot L)$.

Сократим обе части уравнения на $S_{\perp}$ (так как $S_{\perp} \neq 0$):$\frac{BM + CK}{3} = \frac{L}{2}$,откуда получаем $BM + CK = \frac{3}{2}L$.

Из условия задачи известно, что $BM : MB_1 = 2:1$. Поскольку $BM + MB_1 = BB_1 = L$, то:$BM = \frac{2}{2+1} L = \frac{2}{3}L$.

Теперь подставим найденное значение $BM$ в наше уравнение:$\frac{2}{3}L + CK = \frac{3}{2}L$.

Выразим $CK$:$CK = \frac{3}{2}L - \frac{2}{3}L = (\frac{9}{6} - \frac{4}{6})L = \frac{5}{6}L$.

Длина отрезка $KC_1$ равна:$KC_1 = CC_1 - CK = L - \frac{5}{6}L = \frac{1}{6}L$.

Наконец, найдем искомое отношение:$\frac{CK}{KC_1} = \frac{\frac{5}{6}L}{\frac{1}{6}L} = 5$.

Следовательно, отношение $CK : KC_1 = 5 : 1$.

Ответ: 5:1.