Страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. По какой формуле вычисляют объём пирамиды?

2. По какой формуле вычисляют объём усечённой пирамиды?

1. По какой формуле вычисляют объём пирамиды?

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту. Эта формула справедлива для любой пирамиды, независимо от формы её основания (треугольная, четырёхугольная и т.д.).

Формула для вычисления объёма пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$
где:
• $V$ – объём пирамиды;
• $S_{осн}$ – площадь основания пирамиды;
• $h$ – высота пирамиды (длина перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость её основания).

Ответ: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$

2. По какой формуле вычисляют объём усечённой пирамиды?

Усечённая пирамида — это многогранник, заключённый между основанием пирамиды и плоскостью, параллельной основанию. Её объём вычисляется по формуле, которая включает высоту усечённой пирамиды, а также площади её нижнего и верхнего оснований.

Формула для вычисления объёма усечённой пирамиды:
$V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$
где:
• $V$ – объём усечённой пирамиды;
• $h$ – высота усечённой пирамиды (расстояние между плоскостями оснований);
• $S_1$ – площадь нижнего (большего) основания;
• $S_2$ – площадь верхнего (меньшего) основания.

Ответ: $V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

19.1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

19.1.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$,где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Сторона основания $a = 4$ см. Найдём площадь основания:$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Найдём высоту пирамиды $H$. Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Пусть $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — центр квадрата в основании. Проведём апофему $SM$ к стороне основания $CD$. Тогда $OM$ — проекция апофемы на основание. Отрезок $OM$ соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому $OM$ перпендикулярен этой стороне и равен половине её длины:$OM = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Линейным углом двугранного угла является угол $\angle SMO$ в прямоугольном треугольнике $SOM$ (где $\angle SOM = 90°$). По условию, $\angle SMO = 60°$. Из треугольника $SOM$ найдём высоту $H = SO$:$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$$H = SO = OM \cdot \tan(60°) = 2 \cdot \sqrt{3}$ см.

3. Теперь можем вычислить объём пирамиды:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{32\sqrt{3}}{3}$ см³.

19.2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Сторона основания по условию $a = 6$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 6$ см:

$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Найдём высоту пирамиды. Высота $H$ правильной пирамиды опускается из вершины в центр основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией бокового ребра является отрезок, соединяющий вершину основания с центром основания, который равен радиусу $R$ описанной около основания окружности.

Высота пирамиды $H$, проекция бокового ребра $R$ и само боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. По условию, угол между боковым ребром и основанием равен $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике, один из острых углов которого равен $45^\circ$, катеты равны. Следовательно, высота пирамиды равна её проекции на основание: $H = R$.

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, находится по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 6$ см:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Так как $H = R$, то высота пирамиды $H = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдём объём пирамиды. Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}$

$V = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18$ см³.

Ответ: $18$ см³.

19.3. Объём призмы $ABCA_1B_1C_1$, изображённой на рисунке 19.10, равен $V$. Точка $D$ — середина ребра $AA_1$. Найдите объём пирамиды $DABC$.

Рис. 19.10

Объём призмы $ABCA_1B_1C_1$ вычисляется по формуле $V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot H$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $H$ — высота. В качестве основания призмы возьмём треугольник $ABC$. Тогда площадь основания $S_{\text{осн}} = S_{ABC}$. Высота призмы $H$ — это расстояние между плоскостями оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$. По условию задачи, объём призмы равен $V$, следовательно, $V = S_{ABC} \cdot H$.

Объём пирамиды $DABC$ вычисляется по формуле $V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания пирамиды, а $h$ — её высота. Основанием пирамиды $DABC$ является тот же треугольник $ABC$, что и у призмы, поэтому площадь её основания также равна $S_{ABC}$. Высотой пирамиды $h$ является перпендикуляр, опущенный из её вершины $D$ на плоскость основания $(ABC)$.

Поскольку точка $D$ — середина ребра $AA_1$, расстояние от точки $D$ до плоскости $(ABC)$ равно половине расстояния от точки $A_1$ до плоскости $(ABC)$. Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $(ABC)$ является высотой призмы $H$. Таким образом, высота пирамиды $h$ равна половине высоты призмы $H$: $h = \frac{1}{2}H$.

Подставим полученные данные в формулу для объёма пирамиды: $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot \left(\frac{1}{2}H\right) = \frac{1}{6} (S_{ABC} \cdot H)$.

Так как мы знаем, что $V = S_{ABC} \cdot H$, то можем выразить объём пирамиды через объём призмы $V$: $V_{DABC} = \frac{1}{6}V$.

Ответ: $\frac{V}{6}$