Страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.26. Высота пирамиды равна 27 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию этой пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, площади оснований которой равны 32 $см^2$ и 162 $см^2$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, $h_2$ — высота отсеченной (меньшей) пирамиды, а $h_1$ — высота усеченной пирамиды. Пусть $S_1$ — площадь основания исходной пирамиды (которое является большим основанием усеченной пирамиды), а $S_2$ — площадь сечения (которое является меньшим основанием усеченной пирамиды).

По условию задачи нам даны:
Высота исходной пирамиды $H = 27$ см.
Площадь большего основания $S_1 = 162$ см$^2$.
Площадь меньшего основания $S_2 = 32$ см$^2$.

Отсеченная плоскостью пирамида подобна исходной. Для подобных пирамид отношение площадей их оснований равно квадрату отношения их высот:$$ \frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{h_2}{H}\right)^2 $$

Подставим известные значения и найдем высоту меньшей пирамиды $h_2$:$$ \frac{32}{162} = \left(\frac{h_2}{27}\right)^2 $$Сократим дробь в левой части уравнения:$$ \frac{16}{81} = \left(\frac{h_2}{27}\right)^2 $$Извлечем квадратный корень из обеих частей:$$ \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{h_2}{27} $$$$ \frac{4}{9} = \frac{h_2}{27} $$Отсюда выразим и вычислим $h_2$:$$ h_2 = \frac{4}{9} \cdot 27 = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} $$

Высота усеченной пирамиды $h_1$ равна разности высот исходной и отсеченной пирамид:$$ h_1 = H - h_2 = 27 - 12 = 15 \text{ см} $$

Теперь можем найти объем усеченной пирамиды по формуле:$$ V_{\text{ус.пир.}} = \frac{1}{3} h_1 (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) $$

Подставим наши значения в эту формулу. Сначала вычислим среднее геометрическое площадей оснований:$$ \sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{162 \cdot 32} = \sqrt{5184} = 72 \text{ см}^2 $$Теперь вычислим объем:$$ V_{\text{ус.пир.}} = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot (162 + 72 + 32) $$$$ V_{\text{ус.пир.}} = 5 \cdot (266) $$$$ V_{\text{ус.пир.}} = 1330 \text{ см}^3 $$

Ответ: $1330$ см$^3$.

19.27. Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $a$.

Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадратное основание, а $S$ – вершина. По условию, все ребра пирамиды равны $a$. Это означает, что сторона основания $AB=a$, и боковые ребра, например $SA=a$. Следовательно, боковые грани пирамиды (например, $\triangle SAB$) являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Центр вписанного в пирамиду шара лежит на ее высоте $SO$, где $O$ – центр основания. Радиус $r$ вписанного шара равен радиусу окружности, вписанной в апофемное сечение пирамиды. Таким сечением является равнобедренный треугольник, проходящий через вершину $S$ и середины противолежащих сторон основания. Пусть $K$ – середина $AD$ и $L$ – середина $BC$. Рассмотрим сечение $\triangle SKL$.

Найдем параметры этого треугольника. Его основание $KL$ равно стороне квадрата $ABCD$, то есть $KL=a$. Боковые стороны $SK$ и $SL$ являются высотами (апофемами) боковых граней $SAD$ и $SBC$. Так как эти грани – равносторонние треугольники со стороной $a$, их высота равна $SK = SL = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Высота $SO$ треугольника $SKL$ является также высотой пирамиды. Найдем ее из прямоугольного треугольника $SOK$, где $O$ – середина $KL$. Катет $OK = \frac{1}{2}KL = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:$SO^2 = SK^2 - OK^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$. Отсюда высота $SO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Радиус $r$ вписанной в треугольник $SKL$ окружности (и, соответственно, вписанного в пирамиду шара) можно найти по формуле $r = \frac{S_{SKL}}{p}$, где $S_{SKL}$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Площадь треугольника $SKL$ равна:$S_{SKL} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

Полупериметр треугольника $SKL$ равен:$p = \frac{SK + SL + KL}{2} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2} + a}{2} = \frac{a\sqrt{3} + a}{2} = \frac{a(\sqrt{3} + 1)}{2}$.

Теперь вычислим радиус $r$:$r = \frac{S_{SKL}}{p} = \frac{\frac{a^2\sqrt{2}}{4}}{\frac{a(\sqrt{3} + 1)}{2}} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{a(\sqrt{3} + 1)} = \frac{a\sqrt{2}}{2(\sqrt{3} + 1)}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}-1)$:$r = \frac{a\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2(3-1)} = \frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$.

Ответ: $r = \frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$.

19.28. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 5 см. Одно из боковых рёбер пирамиды, равное 12 см, является высотой пирамиды. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения радиуса $r$ шара, вписанного в многогранник (в данном случае, в пирамиду), можно воспользоваться формулой $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ – объем многогранника, а $S_{полн}$ – площадь его полной поверхности.

Дано, что основанием пирамиды является квадрат со стороной $a = 5$ см, а одно из боковых ребер является высотой пирамиды, $H = 12$ см. Обозначим пирамиду $SABCD$, где $ABCD$ – квадратное основание, а $SA$ – высота.

1. Вычисление объема пирамиды ($V$)
Площадь основания $S_{осн}$ (площадь квадрата) равна:$S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25$ см².
Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 12 = 100$ см³.

2. Вычисление площади полной поверхности ($S_{полн}$)
Площадь полной поверхности – это сумма площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из площадей четырех треугольных граней: $SAB$, $SAD$, $SBC$ и $SCD$.

• Поскольку ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, то $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. Следовательно, треугольники $SAB$ и $SAD$ являются прямоугольными. Их площади равны, так как у них обший катет $SA$ и равные катеты $AB = AD$:$S_{SAB} = S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см².
• Для нахождения площадей граней $SBC$ и $SCD$ найдем длины ребер $SB$ и $SD$. Из прямоугольного треугольника $SAB$ по теореме Пифагора:$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см. Аналогично, из $\triangle SAD$ находим $SD = 13$ см.
• По теореме о трех перпендикулярах (так как $SA$ - перпендикуляр к плоскости основания, $AB$ - проекция наклонной $SB$, и $AB \perp BC$), следует, что наклонная $SB \perp BC$. Значит, $\triangle SBC$ является прямоугольным. Его площадь:$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 13 = 32,5$ см².
• Аналогично, $SD \perp CD$, и $\triangle SCD$ является прямоугольным. Его площадь:$S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 13 = 32,5$ см².

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SCD} = 30 + 30 + 32,5 + 32,5 = 125$ см².
Площадь полной поверхности пирамиды:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 25 + 125 = 150$ см².

3. Вычисление радиуса вписанного шара ($r$)
Подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в исходную формулу:$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 100}{150} = \frac{300}{150} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

19.29. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекает боковое ребро SA в точке M так, что $SM : SA = k$. Найдите отношение объёма образовавшейся пирамиды к объёму данной пирамиды.

Пусть $V$ и $V_{малая}$ — объемы исходной и образовавшейся (малой) пирамид соответственно. Аналогично, пусть $B$ и $B_{малая}$ — площади их оснований, а $H$ и $H_{малая}$ — их высоты.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}BH$. Тогда искомое отношение объемов равно:

$$ \frac{V_{малая}}{V} = \frac{\frac{1}{3}B_{малая}H_{малая}}{\frac{1}{3}BH} = \frac{B_{малая}}{B} \cdot \frac{H_{малая}}{H} $$

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает от нее пирамиду, подобную исходной. Коэффициент подобия этих пирамид равен отношению их соответственных линейных размеров.

Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, секущая плоскость пересекает боковое ребро $SA$ в точке $M$, и дано отношение $SM : SA = k$. Это отношение длин соответственных боковых ребер малой и большой пирамид. Следовательно, коэффициент подобия пирамид равен $k$.

Отношение высот подобных пирамид равно коэффициенту подобия:

$$ \frac{H_{малая}}{H} = k $$

Отношение площадей оснований подобных пирамид (и вообще любых соответственных плоских фигур) равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{B_{малая}}{B} = k^2 $$

Теперь подставим найденные отношения в формулу для отношения объемов:

$$ \frac{V_{малая}}{V} = \frac{B_{малая}}{B} \cdot \frac{H_{малая}}{H} = k^2 \cdot k = k^3 $$

Таким образом, отношение объема образовавшейся пирамиды к объему данной пирамиды равно $k^3$.

Ответ: $k^3$.

19.30. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит её объём на две равновеликие части. В каком отношении эта плоскость делит боковое ребро?

Пусть $V$ — объем исходной пирамиды, а $L$ — длина ее бокового ребра.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, которая подобна исходной. Обозначим объем этой меньшей пирамиды как $V_1$, а длину ее бокового ребра как $l_1$.

Согласно условию, секущая плоскость делит объем пирамиды на две равновеликие части. Это означает, что объем отсеченной (верхней) пирамиды $V_1$ равен объему нижней части (усеченной пирамиды), и каждый из этих объемов равен половине объема исходной пирамиды $V$.

$V_1 = \frac{1}{2}V$

Известно, что отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ в данном случае равен отношению длин соответствующих боковых ребер:

$k = \frac{l_1}{L}$

Следовательно, отношение объемов можно записать как:

$\frac{V_1}{V} = k^3 = \left(\frac{l_1}{L}\right)^3$

Подставим известное нам отношение объемов в эту формулу:

$\frac{\frac{1}{2}V}{V} = \left(\frac{l_1}{L}\right)^3$

$\frac{1}{2} = \left(\frac{l_1}{L}\right)^3$

Отсюда найдем отношение длины бокового ребра меньшей пирамиды к длине бокового ребра исходной пирамиды:

$\frac{l_1}{L} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Секущая плоскость делит боковое ребро $L$ на два отрезка. Первый отрезок — это боковое ребро меньшей пирамиды, его длина $l_1$. Второй отрезок — это часть бокового ребра, находящаяся между секущей плоскостью и основанием, его длина $l_2 = L - l_1$.

Выразим $l_1$ и $l_2$ через $L$:

$l_1 = \frac{L}{\sqrt[3]{2}}$

$l_2 = L - l_1 = L - \frac{L}{\sqrt[3]{2}} = L \left(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) = L \frac{\sqrt[3]{2} - 1}{\sqrt[3]{2}}$

Теперь найдем искомое отношение, в котором плоскость делит боковое ребро (отношение отрезка от вершины к отрезку до основания):

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{\frac{L}{\sqrt[3]{2}}}{L \frac{\sqrt[3]{2} - 1}{\sqrt[3]{2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1}$

Таким образом, плоскость делит боковое ребро в отношении $1 : (\sqrt[3]{2} - 1)$, считая от вершины пирамиды.

Ответ: $1 : (\sqrt[3]{2} - 1)$.

19.31. Площадь основания пирамиды равна $3 \text{ см}^2$, а объём пирамиды равен $3 \text{ см}^3$. Пирамиду пересекли двумя плоскостями, параллельными её основанию. Площади образовавшихся сечений равны $1 \text{ см}^2$ и $2 \text{ см}^2$. Найдите объём части пирамиды, расположенной между секущими плоскостями.

Пусть $V$ и $S$ — объём и площадь основания исходной пирамиды соответственно. По условию задачи, $V = 3$ см$^3$ и $S = 3$ см$^2$.

Пирамида пересекается двумя плоскостями, параллельными основанию. Площади сечений равны $S_1 = 1$ см$^2$ и $S_2 = 2$ см$^2$. Каждая из этих плоскостей отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную ей.

Для подобных пирамид отношение их объёмов равно кубу коэффициента подобия, а отношение площадей оснований — квадрату коэффициента подобия. Пусть $V_{сеч}$ — объём пирамиды, отсечённой плоскостью с площадью сечения $S_{сеч}$. Коэффициент подобия $k$ между отсечённой и исходной пирамидами можно найти из отношения площадей:

$\frac{S_{сеч}}{S} = k^2$

Тогда отношение их объёмов будет:

$\frac{V_{сеч}}{V} = k^3 = (k^2)^{\frac{3}{2}} = (\frac{S_{сеч}}{S})^{\frac{3}{2}}$

Отсюда можно найти объём любой отсечённой пирамиды:

$V_{сеч} = V \cdot (\frac{S_{сеч}}{S})^{\frac{3}{2}}$

Найдём объёмы двух малых пирамид, которые отсекаются данными плоскостями. Пусть $V_1$ — это объём пирамиды с площадью основания $S_1 = 1$ см$^2$, а $V_2$ — объём пирамиды с площадью основания $S_2 = 2$ см$^2$.

$V_1 = V \cdot (\frac{S_1}{S})^{\frac{3}{2}} = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{1^{3/2}}{3^{3/2}} = 3 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

$V_2 = V \cdot (\frac{S_2}{S})^{\frac{3}{2}} = 3 \cdot (\frac{2}{3})^{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2^{3/2}}{3^{3/2}} = 3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ см$^3$.

Объём части пирамиды, расположенной между секущими плоскостями, представляет собой объём усечённой пирамиды. Его можно найти как разность объёмов двух отсечённых пирамид $V_2$ и $V_1$. Сечение с большей площадью ($S_2$) находится ближе к основанию, поэтому отсекает пирамиду большего объёма ($V_2$).

$V_{искомый} = V_2 - V_1 = \frac{2\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

19.32. Расстояние от вершины основания правильной треугольной пирамиды до противоположной боковой грани равно $d$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основание $ABC$ – равносторонний треугольник. Пусть $a$ – сторона основания, $H$ – высота пирамиды $SO$, где $O$ – центр основания.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Площадь основания (равностороннего треугольника со стороной $a$) равна: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Двугранный угол при ребре основания, например $BC$, равен $\alpha$. Этот угол является углом между плоскостью основания $(ABC)$ и плоскостью боковой грани $(SBC)$.

Проведём апофему $SM$ (где $M$ – середина $BC$) и медиану $AM$ основания. Так как пирамида правильная, $SM \perp BC$ и $AM \perp BC$. Следовательно, угол $\angle SMA$ – это линейный угол двугранного угла при ребре $BC$, то есть $\angle SMA = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$). Катет $SO$ – это высота пирамиды $H$. Катет $OM$ – это радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника $OM = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Из треугольника $SOM$ находим высоту $H$:

$H = SO = OM \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)$.

Теперь мы можем выразить объём пирамиды через $a$ и $\alpha$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha) = \frac{3a^3}{72} \tan(\alpha) = \frac{a^3}{24} \tan(\alpha)$.

По условию, расстояние от вершины основания (например, $A$) до противоположной боковой грани $(SBC)$ равно $d$.

Объём пирамиды $SABC$ можно также рассматривать как объём тетраэдра $ASBC$ с основанием $SBC$ и высотой, опущенной из вершины $A$ на плоскость $(SBC)$, которая по условию равна $d$.

$V = \frac{1}{3} S_{SBC} \cdot d$.

Найдём площадь боковой грани $SBC$. $S_{SBC} = \frac{1}{2} BC \cdot SM = \frac{1}{2} a \cdot SM$.

Из того же прямоугольного треугольника $SOM$ найдём апофему $SM$:

$SM = \frac{OM}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}$.

Тогда площадь грани $SBC$:

$S_{SBC} = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12\cos(\alpha)}$.

Подставим это в формулу для объёма через $d$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{12\cos(\alpha)} \cdot d = \frac{a^2 d \sqrt{3}}{36\cos(\alpha)}$.

Теперь у нас есть два выражения для объёма. Приравняем их, чтобы найти $a$:

$\frac{a^3}{24} \tan(\alpha) = \frac{a^2 d \sqrt{3}}{36\cos(\alpha)}$

Разделим обе части на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$\frac{a}{24} \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{d \sqrt{3}}{36\cos(\alpha)}$

Умножим обе части на $\cos(\alpha)$ (при условии $\cos(\alpha) \neq 0$):

$\frac{a \sin(\alpha)}{24} = \frac{d \sqrt{3}}{36}$

$a = \frac{24 d \sqrt{3}}{36 \sin(\alpha)} = \frac{2d\sqrt{3}}{3\sin(\alpha)}$.

Наконец, подставим найденное значение $a$ в одну из формул для объёма. Удобнее использовать первую:

$V = \frac{a^3}{24} \tan(\alpha) = \frac{1}{24} \left(\frac{2d\sqrt{3}}{3\sin(\alpha)}\right)^3 \tan(\alpha)$

$V = \frac{1}{24} \cdot \frac{8d^3 \cdot 3\sqrt{3}}{27\sin^3(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

$V = \frac{1}{24} \cdot \frac{24d^3\sqrt{3}}{27\sin^3(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

$V = \frac{d^3\sqrt{3}}{27\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{d^3\sqrt{3}}{27\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}$

19.33. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а двугранный угол пирамиды при её боковом ребре равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина. Сторона основания $AB = a$. Пусть $SO = H$ — высота пирамиды, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$).

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Площадь основания (квадрата) равна $S_{осн} = a^2$. Наша задача — найти высоту $H$.

Двугранный угол при боковом ребре, например, при ребре $SB$, — это угол между плоскостями боковых граней $(SAB)$ и $(SBC)$. По условию, этот угол равен $\alpha$.

Для измерения этого угла построим его линейный угол. Проведём плоскость, перпендикулярную ребру $SB$. Для этого из точки $A$ в плоскости $(SAB)$ опустим перпендикуляр $AK$ на ребро $SB$ ($AK \perp SB$). Поскольку пирамида правильная, её боковые грани $(SAB)$ и $(SBC)$ являются равными равнобедренными треугольниками. Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на ребро $SB$, попадёт в ту же точку $K$, то есть $CK \perp SB$.

Таким образом, угол $\angle AKC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $SB$, и по условию $\angle AKC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. Он равнобедренный, так как $AK = CK$ (как высоты в равных треугольниках $SAB$ и $SBC$). Основание этого треугольника — диагональ квадрата $AC$. Длина диагонали $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Точка $O$ — середина $AC$. Отрезок $KO$ является медианой в равнобедренном треугольнике $AKC$, а значит, и его высотой и биссектрисой. Следовательно, $KO \perp AC$ и $\angle AKO = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$. Катет $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Мы можем выразить сторону $AK$ через $AO$ и угол $\frac{\alpha}{2}$:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AO}{AK} \Rightarrow AK = \frac{AO}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a\sqrt{2}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$. Пусть $l$ — длина бокового ребра (например, $SB$), а $h_a$ — апофема (высота боковой грани, проведённая из вершины $S$, например $SM \perp AB$).

Из прямоугольного треугольника $SOB$: $l^2 = SB^2 = SO^2 + OB^2 = H^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = H^2 + \frac{a^2}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $SOM$: $h_a^2 = SM^2 = SO^2 + OM^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 = H^2 + \frac{a^2}{4}$.

Площадь боковой грани, треугольника $SAB$, можно вычислить двумя способами:

$S_{SAB} = \frac{1}{2} AB \cdot SM = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

$S_{SAB} = \frac{1}{2} SB \cdot AK = \frac{1}{2} l \cdot AK$

Приравнивая эти выражения, получаем: $a \cdot h_a = l \cdot AK$.

Подставим выражения для $h_a$, $l$ и $AK$:

$a \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{2}} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Сократим на $a$ и возведём обе части в квадрат:

$H^2 + \frac{a^2}{4} = (H^2 + \frac{a^2}{2}) \cdot \frac{2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{H^2 + \frac{a^2}{2}}{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Умножим обе части на $2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$2\sin^2(\frac{\alpha}{2})(H^2 + \frac{a^2}{4}) = H^2 + \frac{a^2}{2}$.

$2H^2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \frac{a^2}{2}\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = H^2 + \frac{a^2}{2}$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $H^2$ и $a^2$:

$H^2(2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - 1) = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2}\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

$H^2(2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) - 1) = \frac{a^2}{2}(1 - \sin^2(\frac{\alpha}{2}))$.

Используем тригонометрические формулы: $2\sin^2(x) - 1 = -\cos(2x)$ и $1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)$.

$H^2(-\cos\alpha) = \frac{a^2}{2}\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

$H^2 = -\frac{a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\cos\alpha}$.

Для существования пирамиды с такими параметрами необходимо, чтобы $H^2 > 0$. Так как $a^2 > 0$ и $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) > 0$, то должно выполняться условие $-\cos\alpha > 0$, то есть $\cos\alpha < 0$. Это означает, что угол $\alpha$ является тупым ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), что соответствует геометрии задачи.

Извлекая корень, находим высоту:

$H = \sqrt{-\frac{a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\cos\alpha}} = a\cos(\frac{\alpha}{2}) \frac{1}{\sqrt{-2\cos\alpha}}$.

Теперь можем найти объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} a^2 \cdot \left( a\cos(\frac{\alpha}{2}) \frac{1}{\sqrt{-2\cos\alpha}} \right) = \frac{a^3\cos(\frac{\alpha}{2})}{3\sqrt{-2\cos\alpha}}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \cos(\frac{\alpha}{2})}{3\sqrt{-2\cos\alpha}}$.

19.34. Высота правильной треугольной пирамиды равна $H$, а двугранный угол пирамиды при её боковом ребре равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. $SO$ — высота пирамиды, $SO = H$, где $O$ — центр основания. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник. Пусть сторона основания равна $a$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H$Площадь равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$ равна $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Тогда объём пирамиды:$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H = \frac{a^2 H \sqrt{3}}{12}$. Для нахождения объёма необходимо выразить сторону основания $a$ через высоту $H$ и заданный двугранный угол $\alpha$.

Двугранный угол при боковом ребре, например $SA$, — это угол между плоскостями боковых граней $(SAB)$ и $(SAC)$. Для нахождения этого угла рассмотрим трёхгранный угол при вершине $S$. Все плоские углы при вершине $S$ равны, так как пирамида правильная. Обозначим их через $\gamma$: $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = \gamma$. Связь между двугранным углом $\alpha$ при ребре трёхгранного угла и противолежащим ему плоским углом $\gamma$ (в нашем случае все плоские углы при вершине и соответствующие двугранные углы равны) даётся соотношением, которое следует из сферической теоремы косинусов:$\cos\gamma = \cos\gamma \cdot \cos\gamma + \sin\gamma \cdot \sin\gamma \cdot \cos\alpha$$\cos\gamma(1-\cos\gamma) = \sin^2\gamma \cos\alpha = (1-\cos^2\gamma)\cos\alpha = (1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)\cos\alpha$Поскольку $\gamma \ne 0$, можно сократить на $(1-\cos\gamma)$:$\cos\gamma = (1+\cos\gamma)\cos\alpha$Отсюда $\cos\alpha = \frac{\cos\gamma}{1+\cos\gamma}$.

Теперь выразим $\cos\gamma$ через параметры пирамиды $a$ и $H$. Рассмотрим боковую грань, например, равнобедренный треугольник $ASB$. Боковое ребро $l = SA = SB$. По теореме косинусов для $\triangle ASB$:$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos\gamma$$a^2 = 2l^2(1-\cos\gamma)$, откуда $\cos\gamma = 1 - \frac{a^2}{2l^2}$.

Длину бокового ребра $l$ найдём из прямоугольного треугольника $SOA$. $OA = R$ — радиус окружности, описанной около основания $ABC$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. По теореме Пифагора:$l^2 = SA^2 = SO^2 + OA^2 = H^2 + R^2 = H^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = H^2 + \frac{a^2}{3}$.

Подставим выражение для $l^2$ в формулу для $\cos\gamma$:$\cos\gamma = 1 - \frac{a^2}{2(H^2 + a^2/3)} = \frac{2(H^2 + a^2/3) - a^2}{2(H^2 + a^2/3)} = \frac{2H^2 + 2a^2/3 - a^2}{2H^2 + 2a^2/3} = \frac{2H^2 - a^2/3}{2H^2 + 2a^2/3} = \frac{6H^2 - a^2}{6H^2 + 2a^2}$.

Теперь подставим полученное выражение для $\cos\gamma$ в соотношение $\cos\alpha = \frac{\cos\gamma}{1+\cos\gamma}$:$\cos\alpha = \frac{\frac{6H^2 - a^2}{6H^2 + 2a^2}}{1 + \frac{6H^2 - a^2}{6H^2 + 2a^2}} = \frac{6H^2 - a^2}{(6H^2 + 2a^2) + (6H^2 - a^2)} = \frac{6H^2 - a^2}{12H^2 + a^2}$.

Из этого уравнения выразим $a^2$:$\cos\alpha (12H^2 + a^2) = 6H^2 - a^2$$12H^2\cos\alpha + a^2\cos\alpha = 6H^2 - a^2$$a^2\cos\alpha + a^2 = 6H^2 - 12H^2\cos\alpha$$a^2(1 + \cos\alpha) = 6H^2(1 - 2\cos\alpha)$$a^2 = \frac{6H^2(1 - 2\cos\alpha)}{1 + \cos\alpha}$. Для существования пирамиды необходимо, чтобы $a^2 > 0$, что влечёт $1 - 2\cos\alpha > 0$, то есть $\cos\alpha < 1/2$, и $\alpha > \pi/3$. Это условие выполняется для любой правильной треугольной пирамиды.

Наконец, подставим найденное выражение для $a^2$ в формулу для объёма:$V = \frac{a^2 H \sqrt{3}}{12} = \frac{1}{12} \cdot \frac{6H^2(1 - 2\cos\alpha)}{1 + \cos\alpha} \cdot H \sqrt{3}$$V = \frac{6 H^3 \sqrt{3} (1 - 2\cos\alpha)}{12 (1 + \cos\alpha)} = \frac{H^3 \sqrt{3} (1 - 2\cos\alpha)}{2(1 + \cos\alpha)}$.

Ответ: $\frac{H^3 \sqrt{3} (1 - 2\cos\alpha)}{2(1 + \cos\alpha)}$.

19.35. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при основании. Боковая грань пирамиды, содержащая основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости этого треугольника, а две другие грани наклонены к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Решение задачи можно разбить на три этапа: нахождение площади основания, нахождение высоты и вычисление объёма.

1. Нахождение площади основания пирамиды

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник. Обозначим его $ABC$, где $AB = AC = a$ — боковые стороны, а $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$ — углы при основании $BC$.

Угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha = \pi - 2\alpha$.

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(\pi - 2\alpha)$.

Так как $\sin(\pi - x) = \sin(x)$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha)$.

2. Нахождение высоты пирамиды

Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, боковая грань $(SBC)$, содержащая основание $BC$ равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Высота пирамиды $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $S$ на плоскость $(ABC)$. Поскольку плоскости $(SBC)$ и $(ABC)$ перпендикулярны, высота пирамиды должна лежать в плоскости $(SBC)$ и её основание (точка $M$) будет лежать на линии их пересечения, то есть на стороне $BC$. Таким образом, высота пирамиды $H = SM$, где $SM \perp BC$.

Две другие грани, $(SAB)$ и $(SAC)$, наклонены к плоскости основания под одинаковым углом $\beta$. Это означает, что основание высоты пирамиды, точка $M$, равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, точка $M$ лежит на биссектрисе угла $\angle BAC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведенная из вершины $A$, является также медианой и высотой к основанию $BC$. Значит, точка $M$ — это середина стороны $BC$, а $AM$ — высота треугольника $ABC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$ ($\angle AMC = 90^\circ$). В нём $AC = a$ и $\angle ACM = \alpha$. Отсюда находим катет $MC$: $MC = a \cos(\alpha)$.

Угол $\beta$ — это угол между гранью $(SAC)$ и основанием $(ABC)$. Для его построения проведем из точки $M$ перпендикуляр $MK$ к стороне $AC$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SK$ также будет перпендикулярна $AC$. Тогда $\angle SKM$ — это искомый линейный угол двугранного угла, и $\angle SKM = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKC$ ($\angle MKC = 90^\circ$). В нём $MC = a \cos\alpha$ и $\angle KCM = \alpha$. Найдём катет $MK$:

$MK = MC \cdot \sin(\angle KCM) = (a \cos\alpha) \cdot \sin\alpha = a \sin\alpha \cos\alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SMK$ ($\angle SMK = 90^\circ$), в котором катет $SM$ является высотой пирамиды $H$. Из определения тангенса:

$\tan\beta = \frac{SM}{MK} \Rightarrow H = SM = MK \cdot \tan\beta$.

Подставим найденное выражение для $MK$:

$H = (a \sin\alpha \cos\alpha) \cdot \tan\beta$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получим:

$H = \frac{a}{2} \sin(2\alpha) \tan\beta$.

3. Вычисление объёма пирамиды

Подставим выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha)\right) \cdot \left(\frac{a}{2} \sin(2\alpha) \tan\beta\right)$.

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{a^3 \sin^2(2\alpha) \tan\beta}{3 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{12} a^3 \sin^2(2\alpha) \tan\beta$.

Ответ: $V = \frac{1}{12} a^3 \sin^2(2\alpha) \tan\beta$.

19.36. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Боковая грань пирамиды, содержащая большую сторону основания, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Пусть основанием пирамиды $SABC$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C=90^\circ$). Пусть катет $AC = a$, а прилежащий к нему острый угол $\angle A = \alpha$. Тогда второй катет $BC = AC \cdot \tan A = a \tan{\alpha}$. Гипотенуза $AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{a}{\cos{\alpha}}$. Площадь основания пирамиды:$S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} a \cdot (a \tan{\alpha}) = \frac{1}{2} a^2 \tan{\alpha}$.

Самой большой стороной основания является гипотенуза $AB$. По условию, боковая грань $SAB$, содержащая эту сторону, перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Это означает, что высота пирамиды $SH$ опускается из вершины $S$ на гипотенузу $AB$ (точка $H$ лежит на отрезке $AB$).

Две другие боковые грани, $SAC$ и $SBC$, наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Угол наклона грани к плоскости основания — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Чтобы построить эти линейные углы, опустим из точки $H$ (основания высоты) перпендикуляры на катеты $AC$ и $BC$. Пусть $HK \perp AC$ и $HL \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $SH \perp (ABC)$ и $HK \perp AC$, то наклонная $SK$ также перпендикулярна $AC$. Следовательно, угол $\angle SKH$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SAC$ и основанием. По условию, $\angle SKH = \beta$. Аналогично, $SL \perp BC$, и $\angle SLH$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SBC$ и основанием. По условию, $\angle SLH = \beta$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SHK$ и $\triangle SHL$. У них общий катет $SH$. Из $\triangle SHK$ имеем: $SH = HK \cdot \tan(\angle SKH) = HK \cdot \tan{\beta}$. Из $\triangle SHL$ имеем: $SH = HL \cdot \tan(\angle SLH) = HL \cdot \tan{\beta}$. Отсюда следует, что $HK = HL$. Это означает, что точка $H$ в плоскости основания равноудалена от сторон угла $\angle ACB$. Следовательно, точка $H$ лежит на биссектрисе угла $C$.

Найдем длину отрезка $HK$. В плоскости основания рассмотрим четырехугольник $CKHL$. В нем $\angle C = \angle K = \angle L = 90^\circ$, поэтому $CKHL$ — прямоугольник. Так как $HK = HL$, то это квадрат, и $CK = HK$. В прямоугольном треугольнике $AKH$ (угол $K$ прямой), угол $A$ равен $\alpha$. Тогда $AK = \frac{HK}{\tan A} = \frac{HK}{\tan{\alpha}} = HK \cot{\alpha}$. Сторона $AC$ состоит из двух отрезков: $AC = AK + KC$. Подставляем известные выражения: $a = HK \cot{\alpha} + HK = HK(1 + \cot{\alpha})$. Отсюда находим $HK$:$HK = \frac{a}{1 + \cot{\alpha}}$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $SH$:$SH = HK \cdot \tan{\beta} = \frac{a \tan{\beta}}{1 + \cot{\alpha}}$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SH$. Подставим найденные значения площади основания и высоты:$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \tan{\alpha}\right) \cdot \left(\frac{a \tan{\beta}}{1 + \cot{\alpha}}\right) = \frac{a^3 \tan{\alpha} \tan{\beta}}{6(1 + \cot{\alpha})}$. Преобразуем выражение, используя тождество $1 + \cot{\alpha} = 1 + \frac{1}{\tan{\alpha}} = \frac{\tan{\alpha} + 1}{\tan{\alpha}}$:$V = \frac{a^3 \tan{\alpha} \tan{\beta}}{6\left(\frac{1 + \tan{\alpha}}{\tan{\alpha}}\right)} = \frac{a^3 \tan^2{\alpha} \tan{\beta}}{6(1 + \tan{\alpha})}$.
Ответ: $V = \frac{a^3 \tan^2{\alpha} \tan{\beta}}{6(1 + \tan{\alpha})}$.