Номер 19.32, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.32. Расстояние от вершины основания правильной треугольной пирамиды до противоположной боковой грани равно $d$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основание $ABC$ – равносторонний треугольник. Пусть $a$ – сторона основания, $H$ – высота пирамиды $SO$, где $O$ – центр основания.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Площадь основания (равностороннего треугольника со стороной $a$) равна: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Двугранный угол при ребре основания, например $BC$, равен $\alpha$. Этот угол является углом между плоскостью основания $(ABC)$ и плоскостью боковой грани $(SBC)$.

Проведём апофему $SM$ (где $M$ – середина $BC$) и медиану $AM$ основания. Так как пирамида правильная, $SM \perp BC$ и $AM \perp BC$. Следовательно, угол $\angle SMA$ – это линейный угол двугранного угла при ребре $BC$, то есть $\angle SMA = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$). Катет $SO$ – это высота пирамиды $H$. Катет $OM$ – это радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника $OM = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Из треугольника $SOM$ находим высоту $H$:

$H = SO = OM \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha)$.

Теперь мы можем выразить объём пирамиды через $a$ и $\alpha$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan(\alpha) = \frac{3a^3}{72} \tan(\alpha) = \frac{a^3}{24} \tan(\alpha)$.

По условию, расстояние от вершины основания (например, $A$) до противоположной боковой грани $(SBC)$ равно $d$.

Объём пирамиды $SABC$ можно также рассматривать как объём тетраэдра $ASBC$ с основанием $SBC$ и высотой, опущенной из вершины $A$ на плоскость $(SBC)$, которая по условию равна $d$.

$V = \frac{1}{3} S_{SBC} \cdot d$.

Найдём площадь боковой грани $SBC$. $S_{SBC} = \frac{1}{2} BC \cdot SM = \frac{1}{2} a \cdot SM$.

Из того же прямоугольного треугольника $SOM$ найдём апофему $SM$:

$SM = \frac{OM}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}$.

Тогда площадь грани $SBC$:

$S_{SBC} = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12\cos(\alpha)}$.

Подставим это в формулу для объёма через $d$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{12\cos(\alpha)} \cdot d = \frac{a^2 d \sqrt{3}}{36\cos(\alpha)}$.

Теперь у нас есть два выражения для объёма. Приравняем их, чтобы найти $a$:

$\frac{a^3}{24} \tan(\alpha) = \frac{a^2 d \sqrt{3}}{36\cos(\alpha)}$

Разделим обе части на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$\frac{a}{24} \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{d \sqrt{3}}{36\cos(\alpha)}$

Умножим обе части на $\cos(\alpha)$ (при условии $\cos(\alpha) \neq 0$):

$\frac{a \sin(\alpha)}{24} = \frac{d \sqrt{3}}{36}$

$a = \frac{24 d \sqrt{3}}{36 \sin(\alpha)} = \frac{2d\sqrt{3}}{3\sin(\alpha)}$.

Наконец, подставим найденное значение $a$ в одну из формул для объёма. Удобнее использовать первую:

$V = \frac{a^3}{24} \tan(\alpha) = \frac{1}{24} \left(\frac{2d\sqrt{3}}{3\sin(\alpha)}\right)^3 \tan(\alpha)$

$V = \frac{1}{24} \cdot \frac{8d^3 \cdot 3\sqrt{3}}{27\sin^3(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

$V = \frac{1}{24} \cdot \frac{24d^3\sqrt{3}}{27\sin^3(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

$V = \frac{d^3\sqrt{3}}{27\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{d^3\sqrt{3}}{27\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}$