Номер 19.25, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 60°. Высота пирамиды разделена на 3 равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объём усечённой пирамиды, которую эти плоскости отсекают от исходной пирамиды.

Обозначим сторону основания правильной шестиугольной пирамиды как $a$, а ее высоту как $H$. По условию $a = 12$ см. Высота пирамиды разделена на 3 равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Это означает, что исходная пирамида рассекается на три части: верхнюю маленькую пирамиду, среднюю усеченную пирамиду и нижнюю усеченную пирамиду. Нам нужно найти объем средней усеченной пирамиды.

1. Нахождение высоты и площади основания исходной пирамиды

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 12$ см. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
Подставим значение $a$: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 144 = 3\sqrt{3} \cdot 72 = 216\sqrt{3}$ см².

Двугранный угол при ребре основания равен $60^\circ$. Этот угол образуется апофемой боковой грани и радиусом вписанной в основание окружности (который также является апофемой основания). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани. В этом треугольнике высота $H$ и апофема основания $r$ являются катетами. Угол между апофемой боковой грани и апофемой основания равен заданному двугранному углу $60^\circ$.

Апофема правильного шестиугольника (радиус вписанной окружности) вычисляется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$r = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника можем найти высоту пирамиды $H$: $\tan(60^\circ) = \frac{H}{r}$
$H = r \cdot \tan(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

2. Вычисление объема исходной пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$
$V = \frac{1}{3} \cdot 216\sqrt{3} \cdot 18 = 216\sqrt{3} \cdot 6 = 1296\sqrt{3}$ см³.

3. Нахождение объема искомой усеченной пирамиды

Высота $H$ разделена на 3 равные части. Обозначим вершину пирамиды как $S$. Плоскости, параллельные основанию, отсекают от исходной пирамиды две меньшие пирамиды, подобные ей.

Первая плоскость (ближняя к вершине) находится на расстоянии $\frac{H}{3}$ от вершины. Она отсекает малую пирамиду объемом $V_1$.
Вторая плоскость находится на расстоянии $\frac{2H}{3}$ от вершины. Она отсекает пирамиду объемом $V_2$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия (отношения их линейных размеров, например, высот).

Для пирамиды объемом $V_1$ коэффициент подобия $k_1 = \frac{H/3}{H} = \frac{1}{3}$.
Ее объем: $V_1 = k_1^3 \cdot V = (\frac{1}{3})^3 \cdot V = \frac{1}{27}V$.

Для пирамиды объемом $V_2$ коэффициент подобия $k_2 = \frac{2H/3}{H} = \frac{2}{3}$.
Ее объем: $V_2 = k_2^3 \cdot V = (\frac{2}{3})^3 \cdot V = \frac{8}{27}V$.

Искомая усеченная пирамида — это часть пирамиды, заключенная между двумя секущими плоскостями. Ее объем $V_{усеч}$ равен разности объемов пирамиды $V_2$ и пирамиды $V_1$:
$V_{усеч} = V_2 - V_1 = \frac{8}{27}V - \frac{1}{27}V = \frac{7}{27}V$.

Теперь подставим найденное значение объема исходной пирамиды $V$:
$V_{усеч} = \frac{7}{27} \cdot 1296\sqrt{3}$
Выполним вычисление: $V_{усеч} = 7 \cdot \frac{1296}{27} \sqrt{3} = 7 \cdot 48 \sqrt{3} = 336\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $336\sqrt{3}$ см³.