Номер 19.23, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.23. На рисунке 19.12 изображён бункер для зерна, имеющий форму правильной четырёхугольной усечённой пирамиды (размеры на рисунке даны в сантиметрах). Сколько тонн зерна можно засыпать в такой бункер, если масса 1 м³ зерна составляет 800 кг?

Рис. 19.12

Для того чтобы определить, сколько тонн зерна можно засыпать в бункер, необходимо сначала найти его объём, а затем, зная массу 1 м³ зерна, вычислить общую массу и выразить её в тоннах.

Вычисление объёма бункера
Бункер имеет форму правильной четырёхугольной усечённой пирамиды. Объём усечённой пирамиды ($V$) вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$
где $h$ — высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.
Размеры на рисунке даны в сантиметрах. Переведём их в метры, так как масса зерна указана для кубического метра:
Сторона верхнего основания: $a = 250 \text{ см} = 2.5 \text{ м}$.
Сторона нижнего основания: $b = 150 \text{ см} = 1.5 \text{ м}$.
Высота: $h = 240 \text{ см} = 2.4 \text{ м}$.
Поскольку пирамида правильная, её основаниями являются квадраты. Найдём их площади:
Площадь верхнего основания: $S_1 = a^2 = (2.5 \text{ м})^2 = 6.25 \text{ м}^2$.
Площадь нижнего основания: $S_2 = b^2 = (1.5 \text{ м})^2 = 2.25 \text{ м}^2$.
Теперь подставим все полученные значения в формулу для расчёта объёма:
$V = \frac{1}{3} \cdot 2.4 \cdot (6.25 + 2.25 + \sqrt{6.25 \cdot 2.25})$
$V = 0.8 \cdot (8.5 + \sqrt{14.0625})$
$V = 0.8 \cdot (8.5 + 3.75)$
$V = 0.8 \cdot 12.25 = 9.8 \text{ м}^3$.

Вычисление массы зерна
По условию, масса 1 м³ зерна составляет 800 кг. Рассчитаем массу ($m$) зерна, которое вмещает бункер:
$m = V \cdot 800 \text{ кг/м}^3 = 9.8 \text{ м}^3 \cdot 800 \text{ кг/м}^3 = 7840 \text{ кг}$.
Для ответа на вопрос задачи переведём массу из килограммов в тонны, зная, что 1 тонна = 1000 кг:
$m = \frac{7840 \text{ кг}}{1000} = 7.84 \text{ т}$.
Ответ: в такой бункер можно засыпать 7,84 тонны зерна.