Номер 19.18, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.18. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Вычисление площади основания

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a=6$ см, $b=25$ см и $c=29$ см. Площадь этого треугольника можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона для нахождения площади основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см².

2. Вычисление высоты пирамиды

В условии сказано, что все двугранные углы при ребрах основания равны $60^\circ$. Это важное свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в треугольник основания (инцентр). Расстояние от этого центра до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$.

Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема боковой грани образуют прямоугольный треугольник. Угол между апофемой и радиусом $r$ (который является проекцией апофемы на основание) как раз и есть линейный угол двугранного угла, то есть $60^\circ$.

Таким образом, мы можем выразить высоту $H$ через радиус $r$ и тангенс этого угла:

$H = r \cdot \tan(60^\circ)$.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$.

$r = \frac{60}{30} = 2$ см.

Теперь найдем высоту $H$:

$H = 2 \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объёма пирамиды

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot 2\sqrt{3} = 20 \cdot 2\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $40\sqrt{3}$ см³.