Номер 19.14, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 19. Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 19.14, страница 182.

Условие.

19.14. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Пусть один катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\alpha$. Тогда второй катет можно найти через тангенс этого угла: $b = a \cdot \tan(\alpha)$.

Площадь прямоугольного треугольника (основания пирамиды) равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \tan(\alpha)) = \frac{1}{2} a^2 \tan(\alpha)$.

2. Нахождение высоты пирамиды.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под одним и тем же углом $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине его гипотенузы.

Найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника в основании:

$c = \frac{a}{\cos(\alpha)}$.

Радиус $R$ описанной окружности равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на основание) и само боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и его проекцией $R$ равен $\beta$. Следовательно, высоту $H$ можно выразить через $R$ и $\tan(\beta)$:

$H = R \cdot \tan(\beta) = \frac{a}{2\cos(\alpha)} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}$.

3. Вычисление объёма пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \tan(\alpha)\right) \cdot \left(\frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}\right)$.

Упростив выражение, получим окончательный результат:

$V = \frac{a^3 \tan(\alpha) \tan(\beta)}{12 \cos(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \tan(\alpha) \tan(\beta)}{12 \cos(\alpha)}$.