Номер 19.7, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.7. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $b$ и образует с высотой пирамиды угол $\alpha$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $b$ (которое является гипотенузой) и проекцией бокового ребра на плоскость основания. В правильной четырёхугольной пирамиде высота опускается в центр основания (точку пересечения диагоналей), поэтому проекция бокового ребра на основание равна половине диагонали основания ($R$). Угол между боковым ребром $b$ (гипотенузой) и высотой $H$ (катетом) по условию равен $\alpha$.

Из этого прямоугольного треугольника найдём высоту $H$ и половину диагонали основания $R$ через тригонометрические функции:

• Высота $H$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, поэтому $H = b \cdot \cos(\alpha)$.
• Половина диагонали $R$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, поэтому $R = b \cdot \sin(\alpha)$.

Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Найдём его площадь. Диагональ квадрата $d$ равна двум её половинам $R$:

$d = 2R = 2b \sin(\alpha)$

Площадь квадрата можно найти через его диагональ по формуле $S = \frac{1}{2} d^2$. Подставим в неё наше выражение для $d$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} (2b \sin(\alpha))^2 = \frac{1}{2} \cdot 4b^2 \sin^2(\alpha) = 2b^2 \sin^2(\alpha)$

Теперь подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (2b^2 \sin^2(\alpha)) \cdot (b \cos(\alpha))$

$V = \frac{2}{3} b^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{2}{3} b^3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)$.