Номер 19.10, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.10. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $b$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Поскольку пирамида правильная треугольная, в её основании лежит равносторонний треугольник. Найдём последовательно все необходимые величины.

Пусть сторона основания равна $a$. Боковые грани пирамиды — это равные равнобедренные треугольники. Каждая такая грань имеет две стороны, равные боковому ребру $b$, и угол между ними $\beta$. Сторона основания $a$ является третьей стороной этого треугольника. По теореме косинусов:

$a^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos\beta = 2b^2(1 - \cos\beta)$

Применим формулу половинного угла $1 - \cos\beta = 2\sin^2(\frac{\beta}{2})$:

$a^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 4b^2\sin^2(\frac{\beta}{2})$

Отсюда находим длину стороны основания:

$a = 2b\sin(\frac{\beta}{2})$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим в неё найденное ранее выражение для $a^2$:

$S_{осн} = \frac{4b^2\sin^2(\frac{\beta}{2})\sqrt{3}}{4} = b^2\sqrt{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})$

Высота $H$ правильной пирамиды проецируется в центр её основания, который является центром описанной окружности. Радиус $R$ этой окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$R = \frac{2b\sin(\frac{\beta}{2})}{\sqrt{3}}$

Высота $H$, боковое ребро $b$ и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $b$ — гипотенуза. Используя теорему Пифагора, найдём $H$:

$H^2 = b^2 - R^2 = b^2 - \left(\frac{2b\sin(\frac{\beta}{2})}{\sqrt{3}}\right)^2 = b^2 - \frac{4b^2\sin^2(\frac{\beta}{2})}{3} = b^2\left(1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})\right)$

Упростим выражение в скобках, используя формулу $ \sin^2(\frac{\beta}{2}) = \frac{1-\cos\beta}{2} $:

$1 - \frac{4}{3}\sin^2(\frac{\beta}{2}) = 1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{1-\cos\beta}{2} = 1 - \frac{2(1-\cos\beta)}{3} = \frac{3 - 2 + 2\cos\beta}{3} = \frac{1+2\cos\beta}{3}$

Таким образом, для квадрата высоты получаем:

$H^2 = b^2 \frac{1+2\cos\beta}{3}$

Следовательно, высота равна:

$H = b\sqrt{\frac{1+2\cos\beta}{3}}$

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \left(b^2\sqrt{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})\right) \cdot \left(b\sqrt{\frac{1+2\cos\beta}{3}}\right) = \frac{b^3\sqrt{3}\sin^2(\frac{\beta}{2})}{3} \cdot \frac{\sqrt{1+2\cos\beta}}{\sqrt{3}}$

После сокращения $\sqrt{3}$ получаем искомый объём.

Ответ: $V = \frac{1}{3} b^3 \sin^2(\frac{\beta}{2}) \sqrt{1+2\cos\beta}$