Номер 19.8, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.8. Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого равно $a$.

Правильный тетраэдр — это пирамида, у которой все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Длина каждого ребра равна $a$.

Объём любой пирамиды, в том числе и тетраэдра, вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Для нахождения объёма выполним следующие шаги:

1. Найдём площадь основания ($S_{осн}$).

Основанием правильного тетраэдра является равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдём высоту тетраэдра ($H$).

Высота правильного тетраэдра опускается из его вершины в центр основания (который является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой тетраэдра $H$ (катет), ребром тетраэдра $a$ (гипотенуза) и радиусом $R$ описанной около основания окружности (второй катет).

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, равен:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Теперь по теореме Пифагора найдём высоту $H$:

$H^2 + R^2 = a^2$

$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

3. Вычислим объём тетраэдра ($V$).

Подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{a^3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{3 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36}$

Поскольку $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$, то:

$V = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$