Номер 19.6, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.6. Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 5 см и 10 см, а высота – 9 см.

Для нахождения объема усеченной пирамиды используется следующая формула:

$$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$$

где $H$ — высота усеченной пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

Поскольку пирамида правильная треугольная, ее основаниями являются равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Нам даны:

• Сторона большего (нижнего) основания $a_1 = 10$ см.
• Сторона меньшего (верхнего) основания $a_2 = 5$ см.
• Высота усеченной пирамиды $H = 9$ см.

Выполним решение по шагам.

1. Вычисление площади большего основания ($S_1$)

Подставляем значение стороны $a_1 = 10$ см в формулу площади равностороннего треугольника:

$$S_1 = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \text{ см}^2$$

2. Вычисление площади меньшего основания ($S_2$)

Подставляем значение стороны $a_2 = 5$ см в формулу площади:

$$S_2 = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$$

3. Вычисление объема усеченной пирамиды

Теперь подставим найденные площади оснований $S_1$ и $S_2$, а также высоту $H$ в формулу для объема усеченной пирамиды:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \left(25\sqrt{3} + \frac{25\sqrt{3}}{4} + \sqrt{25\sqrt{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4}}\right)$$

Упростим выражение под корнем:

$$\sqrt{25\sqrt{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{25^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{4}} = \sqrt{\frac{625 \cdot 3}{4}} = \frac{\sqrt{625}\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$$

Подставим это значение обратно в формулу объема:

$$V = 3 \left(25\sqrt{3} + \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{25\sqrt{3}}{2}\right)$$

Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю 4:

$$V = 3 \left(\frac{4 \cdot 25\sqrt{3}}{4} + \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{2 \cdot 25\sqrt{3}}{4}\right) = 3 \left(\frac{100\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 50\sqrt{3}}{4}\right)$$

Сложим числители:

$$V = 3 \left(\frac{(100+25+50)\sqrt{3}}{4}\right) = 3 \left(\frac{175\sqrt{3}}{4}\right)$$

Выполним окончательное умножение:

$$V = \frac{3 \cdot 175\sqrt{3}}{4} = \frac{525\sqrt{3}}{4}$$

Ответ: $\frac{525\sqrt{3}}{4} \text{ см}^3$.