Номер 19.4, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.4. Деревянный куб, ребро которого равно 12 см, распилили на две части: треугольную пирамиду и семигранник (рис. 19.11). Найдите объём семигранника, если плоскость распила проходит через середины трёх рёбер куба, имеющих общую вершину.

Рис. 19.11

Для того чтобы найти объём семигранника, необходимо из общего объёма исходного куба вычесть объём отпиленной от него части. Отпиленная часть представляет собой треугольную пирамиду.

1. Сначала вычислим объём всего куба. Длина ребра куба по условию $a = 12$ см. Объём куба ($V_{куб}$) находится по формуле: $V_{куб} = a^3$ Подставляя данное значение, получаем: $V_{куб} = 12^3 = 1728$ см³.

2. Далее найдём объём отпиленной треугольной пирамиды. Плоскость распила проходит через середины трёх рёбер куба, имеющих общую вершину. Это означает, что у отпиленной пирамиды три ребра, выходящие из этой общей вершины, взаимно перпендикулярны (так как это рёбра куба). Длина каждого из этих рёбер равна половине длины ребра куба: $b = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Объём такой пирамиды ($V_{пирамиды}$) можно вычислить по формуле: $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. В качестве основания возьмём прямоугольный треугольник, образованный двумя из этих рёбер. Его площадь: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см². Высотой пирамиды относительно этого основания будет третье ребро, перпендикулярное ему: $h = b = 6$ см. Теперь вычислим объём пирамиды: $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36$ см³.

3. Наконец, чтобы найти объём оставшейся части — семигранника ($V_{семигранника}$), вычтем объём пирамиды из объёма всего куба: $V_{семигранника} = V_{куб} - V_{пирамиды}$ $V_{семигранника} = 1728 - 36 = 1692$ см³.

Ответ: 1692 см³.