Номер 18.40, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.40. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны $2\sqrt{73}$ см и $4\sqrt{13}$ см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Пусть медиана, проведённая к катету $a$, равна $m_a = 4\sqrt{13}$ см, а медиана, проведённая к катету $b$, равна $m_b = 2\sqrt{73}$ см.

Медиана, проведённая к катету, образует прямоугольный треугольник, где эта медиана является гипотенузой, а катетами служат другой катет и половина того катета, к которому проведена медиана.

Для медианы $m_a$, проведённой к катету $a$, по теореме Пифагора имеем:

$m_a^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2$

Для медианы $m_b$, проведённой к катету $b$, по теореме Пифагора имеем:

$m_b^2 = a^2 + (\frac{b}{2})^2$

Подставим известные значения длин медиан в эти уравнения. Сначала возведём их в квадрат:

$m_a^2 = (4\sqrt{13})^2 = 16 \cdot 13 = 208$

$m_b^2 = (2\sqrt{73})^2 = 4 \cdot 73 = 292$

Теперь составим систему уравнений:

$\begin{cases} b^2 + \frac{a^2}{4} = 208 \\ a^2 + \frac{b^2}{4} = 292 \end{cases}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим оба уравнения на 4:

$\begin{cases} 4b^2 + a^2 = 832 \\ 4a^2 + b^2 = 1168 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(4b^2 + a^2) + (4a^2 + b^2) = 832 + 1168$

$5a^2 + 5b^2 = 2000$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a^2 + b^2 = 400$

Теперь у нас есть более простая система. Например, возьмём второе уравнение из умноженной на 4 системы и новое уравнение:

$\begin{cases} 4a^2 + b^2 = 1168 \\ a^2 + b^2 = 400 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(4a^2 + b^2) - (a^2 + b^2) = 1168 - 400$

$3a^2 = 768$

$a^2 = \frac{768}{3} = 256$

$a = \sqrt{256} = 16$ см (так как длина не может быть отрицательной).

Теперь найдём $b$, подставив значение $a^2$ в уравнение $a^2 + b^2 = 400$:

$256 + b^2 = 400$

$b^2 = 400 - 256 = 144$

$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Таким образом, длины катетов равны 12 см и 16 см.

Ответ: 12 см и 16 см.