Номер 19.5, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рис. 19.11

19.5. Основаниями усечённой пирамиды, высота которой равна 6 см, являются прямоугольники. Стороны одного основания равны 12 см и 16 см, а меньшая сторона другого — 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма усечённой пирамиды:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ – высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

По условию задачи, высота пирамиды $h = 6$ см.

Основаниями являются прямоугольники. Найдём их площади.

Пусть $S_1$ — это площадь большего основания. Его стороны равны 12 см и 16 см. Площадь этого прямоугольника:

$S_1 = 12 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 192 \text{ см}^2$

Основания усечённой пирамиды являются подобными многоугольниками. Это означает, что прямоугольник в меньшем основании подобен прямоугольнику в большем основании. Отношение их соответствующих сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$.

Меньшая сторона большего основания равна 12 см. По условию, меньшая сторона другого (меньшего) основания равна 3 см. Найдём коэффициент подобия, разделив длину соответствующей стороны меньшего основания на длину стороны большего:

$k = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Теперь найдём вторую, большую, сторону меньшего основания. Она будет в $k$ раз меньше большей стороны большего основания:

$a_2 = 16 \text{ см} \cdot k = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4 \text{ см}$

Теперь мы можем найти площадь меньшего основания $S_2$:

$S_2 = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$

У нас есть все необходимые данные для расчёта объёма: $h = 6$ см, $S_1 = 192$ см$^2$, $S_2 = 12$ см$^2$. Подставим их в формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (192 + 12 + \sqrt{192 \cdot 12})$

Сначала вычислим значение выражения под корнем:

$\sqrt{192 \cdot 12} = \sqrt{2304} = 48$

Теперь подставим это значение обратно в формулу и найдём объём:

$V = 2 \cdot (192 + 12 + 48)$

$V = 2 \cdot (204 + 48)$

$V = 2 \cdot 252$

$V = 504 \text{ см}^3$

Ответ: $504 \text{ см}^3$.