Номер 19.12, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.12. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $3\sqrt{10}$ см, $3\sqrt{10}$ см и 6 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания пирамиды.

Основанием является равнобедренный треугольник со сторонами $a = 3\sqrt{10}$ см, $b = 3\sqrt{10}$ см и $c = 6$ см. Для нахождения площади проведём высоту $h_{осн}$ к основанию $c$. В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому она делит основание на два отрезка по $6 / 2 = 3$ см.

Найдём высоту $h_{осн}$ из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

$h_{осн}^2 + 3^2 = (3\sqrt{10})^2$

$h_{осн}^2 + 9 = 9 \cdot 10$

$h_{осн}^2 + 9 = 90$

$h_{осн}^2 = 90 - 9 = 81$

$h_{осн} = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ см².

2. Найдём высоту пирамиды.

Так как все боковые рёбра пирамиды равны ($l=13$ см), то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Таким образом, $H^2 + R^2 = l^2$.

Найдём радиус описанной окружности $R$ по формуле $R = \frac{abc}{4S_{осн}}$:

$R = \frac{3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10} \cdot 6}{4 \cdot 27} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 6}{108} = \frac{540}{108} = 5$ см.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$:

$H^2 + 5^2 = 13^2$

$H^2 + 25 = 169$

$H^2 = 169 - 25 = 144$

$H = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Найдём объём пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108$ см³.

Ответ: 108 см³.