Номер 19.16, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.16. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$.

Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Площадь ромба можно найти по формуле площади параллелограмма: произведение двух смежных сторон на синус угла между ними.

$S_{осн} = a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = a^2 \sin(\alpha)$

2. Найдем высоту пирамиды.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — ее проекция на основание (центр вписанной окружности). Высота пирамиды $H = SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $SO$, радиусом вписанной окружности $OK$ (где $K$ — точка касания окружности со стороной ромба) и апофемой боковой грани $SK$. В этом треугольнике $\triangle SOK$ катет $SO=H$, катет $OK=r$ (радиус вписанной окружности), а угол $\angle SKO = \beta$ (линейный угол двугранного угла при ребре основания).

Из этого треугольника находим высоту: $H = r \cdot \tan(\beta)$.

Теперь найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба $h_{ромба}$.

Высоту ромба можно найти из прямоугольного треугольника, образованного стороной ромба $a$, высотой $h_{ромба}$ и углом $\alpha$:

$h_{ромба} = a \sin(\alpha)$

Следовательно, радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$

Подставим значение $r$ в формулу для высоты пирамиды $H$:

$H = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \cdot \tan(\beta)$

3. Найдем объем пирамиды.

Теперь, когда у нас есть выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$, мы можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (a^2 \sin(\alpha)) \cdot \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan(\beta)\right)$

Упрощая выражение, получаем:

$V = \frac{a^3 \sin^2(\alpha) \tan(\beta)}{6}$

Ответ: $V = \frac{1}{6} a^3 \sin^2(\alpha) \tan(\beta)$