Номер 19.20, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.20. Прямоугольник $ABCD$ — основание пирамиды $MABCD$. Грани $ABM$ и $CBM$ перпендикулярны основанию пирамиды, грань $ADM$ образует с основанием угол $60^\circ$, грань $CDM$ — угол $30^\circ$. Высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите объём пирамиды.

По условию, грани $ABM$ и $CBM$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Плоскости $ABM$ и $CBM$ пересекаются по прямой $MB$, следовательно, ребро $MB$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Таким образом, $MB$ является высотой пирамиды.

Из условия известно, что высота пирамиды равна $3\sqrt{3}$ см, значит $H = MB = 3\sqrt{3}$ см.

Основание пирамиды — прямоугольник $ABCD$. Чтобы найти его площадь, нужно определить длины его сторон $AB$ и $BC$.

Угол между гранью $ADM$ и основанием — это двугранный угол при ребре $AD$. Построим его линейный угол. Так как $MB \perp (ABCD)$, то $MB$ — перпендикуляр, $MA$ — наклонная, а $AB$ — ее проекция на плоскость основания. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то $AB \perp AD$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AB$) перпендикулярна прямой в плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($MA$) перпендикулярна этой прямой. Значит, $MA \perp AD$. Таким образом, угол $\angle MAB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ADM)$ и $(ABCD)$. По условию, $\angle MAB = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAB$ (угол $\angle MBA = 90^\circ$, так как $MB \perp (ABCD)$). Из соотношений в прямоугольном треугольнике: $tg(\angle MAB) = \frac{MB}{AB}$ Отсюда находим сторону $AB$: $AB = \frac{MB}{tg(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ см.

Аналогично найдем сторону $BC$. Угол между гранью $CDM$ и основанием — это двугранный угол при ребре $CD$. Построим его линейный угол. $MB$ — перпендикуляр, $MC$ — наклонная, а $BC$ — ее проекция. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BC \perp CD$. По теореме о трех перпендикулярах, $MC \perp CD$. Следовательно, угол $\angle MCB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(CDM)$ и $(ABCD)$. По условию, $\angle MCB = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCB$ (угол $\angle MBC = 90^\circ$). $tg(\angle MCB) = \frac{MB}{BC}$ Отсюда находим сторону $BC$: $BC = \frac{MB}{tg(30^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания пирамиды: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 3 \cdot 9 = 27$ см$^2$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{основания} \cdot H$: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot MB = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $27\sqrt{3}$ см$^3$.