Номер 19.27, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.27. Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $a$.

Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадратное основание, а $S$ – вершина. По условию, все ребра пирамиды равны $a$. Это означает, что сторона основания $AB=a$, и боковые ребра, например $SA=a$. Следовательно, боковые грани пирамиды (например, $\triangle SAB$) являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Центр вписанного в пирамиду шара лежит на ее высоте $SO$, где $O$ – центр основания. Радиус $r$ вписанного шара равен радиусу окружности, вписанной в апофемное сечение пирамиды. Таким сечением является равнобедренный треугольник, проходящий через вершину $S$ и середины противолежащих сторон основания. Пусть $K$ – середина $AD$ и $L$ – середина $BC$. Рассмотрим сечение $\triangle SKL$.

Найдем параметры этого треугольника. Его основание $KL$ равно стороне квадрата $ABCD$, то есть $KL=a$. Боковые стороны $SK$ и $SL$ являются высотами (апофемами) боковых граней $SAD$ и $SBC$. Так как эти грани – равносторонние треугольники со стороной $a$, их высота равна $SK = SL = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Высота $SO$ треугольника $SKL$ является также высотой пирамиды. Найдем ее из прямоугольного треугольника $SOK$, где $O$ – середина $KL$. Катет $OK = \frac{1}{2}KL = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:$SO^2 = SK^2 - OK^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$. Отсюда высота $SO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Радиус $r$ вписанной в треугольник $SKL$ окружности (и, соответственно, вписанного в пирамиду шара) можно найти по формуле $r = \frac{S_{SKL}}{p}$, где $S_{SKL}$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Площадь треугольника $SKL$ равна:$S_{SKL} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

Полупериметр треугольника $SKL$ равен:$p = \frac{SK + SL + KL}{2} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2} + a}{2} = \frac{a\sqrt{3} + a}{2} = \frac{a(\sqrt{3} + 1)}{2}$.

Теперь вычислим радиус $r$:$r = \frac{S_{SKL}}{p} = \frac{\frac{a^2\sqrt{2}}{4}}{\frac{a(\sqrt{3} + 1)}{2}} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{a(\sqrt{3} + 1)} = \frac{a\sqrt{2}}{2(\sqrt{3} + 1)}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}-1)$:$r = \frac{a\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2(3-1)} = \frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$.

Ответ: $r = \frac{a(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$.