Номер 19.28, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.28. Основанием пирамиды является квадрат со стороной 5 см. Одно из боковых рёбер пирамиды, равное 12 см, является высотой пирамиды. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения радиуса $r$ шара, вписанного в многогранник (в данном случае, в пирамиду), можно воспользоваться формулой $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ – объем многогранника, а $S_{полн}$ – площадь его полной поверхности.

Дано, что основанием пирамиды является квадрат со стороной $a = 5$ см, а одно из боковых ребер является высотой пирамиды, $H = 12$ см. Обозначим пирамиду $SABCD$, где $ABCD$ – квадратное основание, а $SA$ – высота.

1. Вычисление объема пирамиды ($V$)
Площадь основания $S_{осн}$ (площадь квадрата) равна:$S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25$ см².
Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 12 = 100$ см³.

2. Вычисление площади полной поверхности ($S_{полн}$)
Площадь полной поверхности – это сумма площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из площадей четырех треугольных граней: $SAB$, $SAD$, $SBC$ и $SCD$.

• Поскольку ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, то $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. Следовательно, треугольники $SAB$ и $SAD$ являются прямоугольными. Их площади равны, так как у них обший катет $SA$ и равные катеты $AB = AD$:$S_{SAB} = S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ см².
• Для нахождения площадей граней $SBC$ и $SCD$ найдем длины ребер $SB$ и $SD$. Из прямоугольного треугольника $SAB$ по теореме Пифагора:$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см. Аналогично, из $\triangle SAD$ находим $SD = 13$ см.
• По теореме о трех перпендикулярах (так как $SA$ - перпендикуляр к плоскости основания, $AB$ - проекция наклонной $SB$, и $AB \perp BC$), следует, что наклонная $SB \perp BC$. Значит, $\triangle SBC$ является прямоугольным. Его площадь:$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 13 = 32,5$ см².
• Аналогично, $SD \perp CD$, и $\triangle SCD$ является прямоугольным. Его площадь:$S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 13 = 32,5$ см².

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SCD} = 30 + 30 + 32,5 + 32,5 = 125$ см².
Площадь полной поверхности пирамиды:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 25 + 125 = 150$ см².

3. Вычисление радиуса вписанного шара ($r$)
Подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в исходную формулу:$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 100}{150} = \frac{300}{150} = 2$ см.

Ответ: 2 см.