Номер 19.21, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.21. Грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны основанию, а грань $DBC$ наклонена к основанию под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды, если $AB = BC = m$, $\angle BAC = \alpha$.

Поскольку грани $DAB$ и $DAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, то их линия пересечения, ребро $DA$, перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $DA$ является высотой пирамиды $H$.

Основанием пирамиды является треугольник $ABC$. По условию $AB = BC = m$, значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Углы при основании $AC$ равны, поэтому $\angle BCA = \angle BAC = \alpha$. Третий угол треугольника $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.

Площадь основания $S_{осн}$ можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$$S_{осн} = \frac{1}{2} m \cdot m \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha) = \frac{1}{2} m^2 \sin(2\alpha)$.

Грань $DBC$ наклонена к основанию под углом $\beta$. Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) измеряется линейным углом, который является углом между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной точке. Линией пересечения плоскостей $(DBC)$ и $(ABC)$ является прямая $BC$.

Проведем в плоскости основания высоту $AK$ к стороне $BC$. Таким образом, $AK \perp BC$. Поскольку $DA$ — высота пирамиды ($DA \perp (ABC)$), то $AK$ является проекцией наклонной $DK$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $AK$ перпендикулярна прямой $BC$, то и наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $BC$ ($DK \perp BC$).Следовательно, угол $\angle DKA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $DBC$ и основанием $ABC$. По условию $\angle DKA = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAK$ (прямой угол $\angle DAK$, так как $DA$ — высота). Из этого треугольника находим высоту пирамиды $H = DA$:$\tan(\angle DKA) = \frac{DA}{AK} \Rightarrow \tan(\beta) = \frac{H}{AK}$$H = AK \cdot \tan(\beta)$.

Найдем длину $AK$ из площади треугольника $ABC$. Формула площади также может быть выражена как $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AK$. Приравняем два выражения для площади основания:$\frac{1}{2} m^2 \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} m \cdot AK$Отсюда $AK = m \sin(2\alpha)$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:$H = AK \cdot \tan(\beta) = m \sin(2\alpha) \tan(\beta)$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Подставим найденные значения площади основания и высоты:$V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} m^2 \sin(2\alpha) \right) \cdot (m \sin(2\alpha) \tan(\beta))$$V = \frac{1}{6} m^3 \sin^2(2\alpha) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{6} m^3 \sin^2(2\alpha) \tan(\beta)$.