Номер 19.15, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.15. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $b$. Угол между боковыми сторонами основания пирамиды равен $\beta$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью её основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для решения задачи нам необходимо найти эти две величины.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, у которого две боковые стороны равны $b$, а угол между ними равен $\beta$. Площадь такого треугольника находится по формуле "половина произведения двух сторон на синус угла между ними":

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} b^2 \sin\beta$.

2. Нахождение высоты пирамиды ($H$)

В условии сказано, что каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Расстояние от этого центра до любой вершины основания равно радиусу описанной окружности $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на основание) и самим боковым ребром. Угол между боковым ребром и его проекцией как раз равен $\alpha$. Из этого треугольника имеем соотношение:

$\tan\alpha = \frac{H}{R}$, откуда $H = R \cdot \tan\alpha$.

Теперь нам нужно найти радиус $R$ окружности, описанной около треугольника в основании. Сначала найдем третью сторону основания (обозначим ее $c$) по теореме косинусов:

$c^2 = b^2 + b^2 - 2 \cdot b \cdot b \cdot \cos\beta = 2b^2(1 - \cos\beta)$.

Используя тригонометрическую формулу $1 - \cos\beta = 2\sin^2\frac{\beta}{2}$, получаем:

$c^2 = 2b^2 \cdot 2\sin^2\frac{\beta}{2} = 4b^2\sin^2\frac{\beta}{2}$, следовательно, $c = 2b\sin\frac{\beta}{2}$.

Радиус описанной окружности $R$ связан со стороной треугольника и противолежащим углом по формуле (следствие из теоремы синусов): $R = \frac{c}{2\sin\beta}$.

Подставим найденное значение $c$:

$R = \frac{2b\sin\frac{\beta}{2}}{2\sin\beta}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin\beta = 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$ для упрощения:

$R = \frac{2b\sin\frac{\beta}{2}}{2 \cdot (2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2})} = \frac{b}{2\cos\frac{\beta}{2}}$.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = R \cdot \tan\alpha = \frac{b \tan\alpha}{2\cos\frac{\beta}{2}}$.

3. Вычисление объёма пирамиды ($V$)

Подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} b^2 \sin\beta\right) \cdot \left(\frac{b \tan\alpha}{2\cos\frac{\beta}{2}}\right)$.

$V = \frac{b^3 \sin\beta \tan\alpha}{12\cos\frac{\beta}{2}}$.

Снова используем формулу $\sin\beta = 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}$ для финального упрощения:

$V = \frac{b^3 \tan\alpha \cdot (2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2})}{12\cos\frac{\beta}{2}} = \frac{2b^3 \tan\alpha \sin\frac{\beta}{2}}{12} = \frac{1}{6} b^3 \tan\alpha \sin\frac{\beta}{2}$.

Ответ: $V = \frac{1}{6} b^3 \tan\alpha \sin\frac{\beta}{2}$.