Номер 19.13, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.13. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 24 см и 18 см, а каждое её боковое ребро равно 25 см. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $a = 24$ см и $b = 18$ см. Его площадь равна произведению сторон:

$S_{осн} = a \cdot b = 24 \cdot 18 = 432 \text{ см}^2$.

2. Нахождение высоты пирамиды

Поскольку все боковые рёбра пирамиды равны ($l = 25$ см), вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей. Высота пирамиды $H$, половина диагонали основания $R$ и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой.

Сначала найдём длину диагонали $d$ основания по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \text{ см}$.

Радиус описанной окружности $R$ (расстояние от центра до вершины прямоугольника) равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}$.

Теперь по теореме Пифагора найдём высоту $H$ из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и боковым ребром:

$H^2 + R^2 = l^2$

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$.

3. Вычисление объёма пирамиды

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 20 = 144 \cdot 20 = 2880 \text{ см}^3$.

Ответ: $2880 \text{ см}^3$.