Номер 19.11, страница 182 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.11. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $b$ и образует со стороной основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — её вершина. Боковое ребро равно $b$, то есть $SA=SB=SC=SD=b$. Сторону основания обозначим через $a$.

По условию, боковое ребро образует со стороной основания угол $\alpha$. Рассмотрим боковую грань, например, треугольник $SAB$. Так как пирамида правильная, её боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, в треугольнике $SAB$ стороны $SA=SB=b$. Углы при основании этого треугольника равны $\alpha$, то есть $\angle SAB = \angle SBA = \alpha$.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для нахождения объёма необходимо последовательно найти сторону основания, площадь основания и высоту пирамиды.

1. Нахождение стороны основания (a)

Рассмотрим равнобедренный треугольник $SAB$. Проведём в нём высоту $SM$ к основанию $AB$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $SAM$ гипотенуза $SA=b$, катет $AM$ равен половине стороны основания ($AM = \frac{a}{2}$), и угол $\angle SAM = \alpha$. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем: $ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AM}{SA} = \frac{a/2}{b} $ Выразим отсюда сторону основания $a$: $ a = 2b \cos(\alpha) $

2. Нахождение площади основания (Sосн)

Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле: $ S_{осн} = a^2 = (2b \cos(\alpha))^2 = 4b^2 \cos^2(\alpha) $

3. Нахождение высоты пирамиды (H)

Высота правильной пирамиды $H=SO$ опускается из вершины $S$ в центр основания $O$, который является точкой пересечения диагоналей квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. В нём гипотенуза $SA = b$, один катет — это высота $SO = H$, а второй катет $AO$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Сначала найдём длину диагонали $d$ квадрата: $ d = a\sqrt{2} = (2b \cos(\alpha))\sqrt{2} = 2\sqrt{2}b \cos(\alpha) $ Тогда половина диагонали равна: $ AO = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}b \cos(\alpha)}{2} = \sqrt{2}b \cos(\alpha) $ Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику $SOA$ ($SA^2 = SO^2 + AO^2$): $ b^2 = H^2 + (\sqrt{2}b \cos(\alpha))^2 $ $ b^2 = H^2 + 2b^2 \cos^2(\alpha) $ Выразим $H^2$: $ H^2 = b^2 - 2b^2 \cos^2(\alpha) = b^2(1 - 2\cos^2(\alpha)) $ Отсюда высота $H$: $ H = \sqrt{b^2(1 - 2\cos^2(\alpha))} = b\sqrt{1 - 2\cos^2(\alpha)} $ (Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$, выражение под корнем можно записать как $-\cos(2\alpha)$).

4. Нахождение объёма пирамиды (V)

Теперь, когда у нас есть выражения для площади основания и высоты, мы можем вычислить объём: $ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H $ $ V = \frac{1}{3} (4b^2 \cos^2(\alpha)) \cdot (b\sqrt{1 - 2\cos^2(\alpha)}) $ $ V = \frac{4}{3} b^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{1 - 2\cos^2(\alpha)} $

Ответ: $ \frac{4}{3} b^3 \cos^2(\alpha) \sqrt{1 - 2\cos^2(\alpha)} $.