Номер 19.19, страница 183 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.19. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной $a$. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья наклонена к нему под углом $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Пусть $SABC$ — данная пирамида, основанием которой является правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$.

По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости. Пусть боковые грани $SAB$ и $SAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Их общей линией пересечения является боковое ребро $SA$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и его длина $SA$ является высотой $H$ пирамиды.

Третья боковая грань, $SBC$, наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Угол между плоскостью грани и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линией пересечения плоскостей $(SBC)$ и $(ABC)$ является сторона основания $BC$.

Для построения линейного угла проведем в плоскости основания высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, $AM$ является также и медианой. Теперь соединим точки $S$ и $M$. Прямая $SA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $AM$ — проекция наклонной $SM$ на эту плоскость. Поскольку $AM \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SM$ также перпендикулярна $BC$ ($SM \perp BC$).

Таким образом, угол $\angle SMA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SBC$ и основанием $ABC$. По условию, $\angle SMA = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAM$ (угол $\angle SAM = 90^\circ$, так как $SA \perp (ABC)$). В этом треугольнике катет $AM$ является высотой правильного треугольника $ABC$. Длина высоты правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды $H = SA$ из треугольника $SAM$: $\tan(\angle SMA) = \frac{SA}{AM} \implies SA = AM \cdot \tan(60^\circ)$. $H = SA = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2}$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Площадь основания $S_{осн}$ (правильного треугольника со стороной $a$) равна: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма: $V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right) \cdot \left(\frac{3a}{2}\right) = \frac{3a^3\sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$.