Номер 19.30, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.30. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит её объём на две равновеликие части. В каком отношении эта плоскость делит боковое ребро?

Пусть $V$ — объем исходной пирамиды, а $L$ — длина ее бокового ребра.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, которая подобна исходной. Обозначим объем этой меньшей пирамиды как $V_1$, а длину ее бокового ребра как $l_1$.

Согласно условию, секущая плоскость делит объем пирамиды на две равновеликие части. Это означает, что объем отсеченной (верхней) пирамиды $V_1$ равен объему нижней части (усеченной пирамиды), и каждый из этих объемов равен половине объема исходной пирамиды $V$.

$V_1 = \frac{1}{2}V$

Известно, что отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ в данном случае равен отношению длин соответствующих боковых ребер:

$k = \frac{l_1}{L}$

Следовательно, отношение объемов можно записать как:

$\frac{V_1}{V} = k^3 = \left(\frac{l_1}{L}\right)^3$

Подставим известное нам отношение объемов в эту формулу:

$\frac{\frac{1}{2}V}{V} = \left(\frac{l_1}{L}\right)^3$

$\frac{1}{2} = \left(\frac{l_1}{L}\right)^3$

Отсюда найдем отношение длины бокового ребра меньшей пирамиды к длине бокового ребра исходной пирамиды:

$\frac{l_1}{L} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Секущая плоскость делит боковое ребро $L$ на два отрезка. Первый отрезок — это боковое ребро меньшей пирамиды, его длина $l_1$. Второй отрезок — это часть бокового ребра, находящаяся между секущей плоскостью и основанием, его длина $l_2 = L - l_1$.

Выразим $l_1$ и $l_2$ через $L$:

$l_1 = \frac{L}{\sqrt[3]{2}}$

$l_2 = L - l_1 = L - \frac{L}{\sqrt[3]{2}} = L \left(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) = L \frac{\sqrt[3]{2} - 1}{\sqrt[3]{2}}$

Теперь найдем искомое отношение, в котором плоскость делит боковое ребро (отношение отрезка от вершины к отрезку до основания):

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{\frac{L}{\sqrt[3]{2}}}{L \frac{\sqrt[3]{2} - 1}{\sqrt[3]{2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1}$

Таким образом, плоскость делит боковое ребро в отношении $1 : (\sqrt[3]{2} - 1)$, считая от вершины пирамиды.

Ответ: $1 : (\sqrt[3]{2} - 1)$.