Номер 19.31, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.31. Площадь основания пирамиды равна $3 \text{ см}^2$, а объём пирамиды равен $3 \text{ см}^3$. Пирамиду пересекли двумя плоскостями, параллельными её основанию. Площади образовавшихся сечений равны $1 \text{ см}^2$ и $2 \text{ см}^2$. Найдите объём части пирамиды, расположенной между секущими плоскостями.

Пусть $V$ и $S$ — объём и площадь основания исходной пирамиды соответственно. По условию задачи, $V = 3$ см$^3$ и $S = 3$ см$^2$.

Пирамида пересекается двумя плоскостями, параллельными основанию. Площади сечений равны $S_1 = 1$ см$^2$ и $S_2 = 2$ см$^2$. Каждая из этих плоскостей отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную ей.

Для подобных пирамид отношение их объёмов равно кубу коэффициента подобия, а отношение площадей оснований — квадрату коэффициента подобия. Пусть $V_{сеч}$ — объём пирамиды, отсечённой плоскостью с площадью сечения $S_{сеч}$. Коэффициент подобия $k$ между отсечённой и исходной пирамидами можно найти из отношения площадей:

$\frac{S_{сеч}}{S} = k^2$

Тогда отношение их объёмов будет:

$\frac{V_{сеч}}{V} = k^3 = (k^2)^{\frac{3}{2}} = (\frac{S_{сеч}}{S})^{\frac{3}{2}}$

Отсюда можно найти объём любой отсечённой пирамиды:

$V_{сеч} = V \cdot (\frac{S_{сеч}}{S})^{\frac{3}{2}}$

Найдём объёмы двух малых пирамид, которые отсекаются данными плоскостями. Пусть $V_1$ — это объём пирамиды с площадью основания $S_1 = 1$ см$^2$, а $V_2$ — объём пирамиды с площадью основания $S_2 = 2$ см$^2$.

$V_1 = V \cdot (\frac{S_1}{S})^{\frac{3}{2}} = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{1^{3/2}}{3^{3/2}} = 3 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

$V_2 = V \cdot (\frac{S_2}{S})^{\frac{3}{2}} = 3 \cdot (\frac{2}{3})^{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2^{3/2}}{3^{3/2}} = 3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ см$^3$.

Объём части пирамиды, расположенной между секущими плоскостями, представляет собой объём усечённой пирамиды. Его можно найти как разность объёмов двух отсечённых пирамид $V_2$ и $V_1$. Сечение с большей площадью ($S_2$) находится ближе к основанию, поэтому отсекает пирамиду большего объёма ($V_2$).

$V_{искомый} = V_2 - V_1 = \frac{2\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$ см$^3$.