Номер 19.38, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.38. Основания усечённой пирамиды — квадраты со сторонами $a$ и $b$, $a > b$. Одна из боковых граней пирамиды является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям, а противолежащая ей грань образует с большим основанием угол $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

По условию, основаниями являются квадраты со сторонами $a$ и $b$. Следовательно, их площади равны:

$S_1 = a^2$

$S_2 = b^2$

Для нахождения объёма необходимо определить высоту $h$.

Пусть $A_1B_1C_1D_1$ — нижнее основание (со стороной $a$), а $A_2B_2C_2D_2$ — верхнее основание (со стороной $b$).

Одна из боковых граней, например $A_1B_1B_2A_2$, является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям. Это означает, что высота этой трапеции является высотой $h$ усечённой пирамиды. Пусть $K_1$ и $K_2$ — середины сторон $A_1B_1$ и $A_2B_2$ соответственно. Тогда отрезок $K_1K_2$ является высотой трапеции $A_1B_1B_2A_2$, и, следовательно, высотой всей усечённой пирамиды, т.е. $h = K_1K_2$. При этом $K_1K_2$ перпендикулярен плоскости основания.

Противолежащая грань $D_1C_1C_2D_2$ образует с большим основанием угол $\alpha$. Угол между плоскостью этой грани и плоскостью основания — это двугранный угол. Его можно измерить как угол между перпендикулярами, проведёнными к линии их пересечения $D_1C_1$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины противолежащих сторон оснований $A_1B_1$, $D_1C_1$ и $A_2B_2$, $D_2C_2$. Пусть $M_1$ и $M_2$ — середины сторон $D_1C_1$ и $D_2C_2$ соответственно. Сечением будет трапеция $K_1M_1M_2K_2$.

В этой трапеции:

• $K_1M_1$ — расстояние между серединами противолежащих сторон нижнего квадрата, поэтому $K_1M_1 = a$.
• $K_2M_2$ — расстояние между серединами противолежащих сторон верхнего квадрата, поэтому $K_2M_2 = b$.
• $K_1K_2$ — высота пирамиды $h$, и она перпендикулярна $K_1M_1$.

Таким образом, сечение $K_1M_1M_2K_2$ является прямоугольной трапецией с высотой $h=K_1K_2$ и основаниями $a$ и $b$.

Угол $\alpha$ — это угол между боковой гранью $D_1C_1C_2D_2$ и основанием. В нашем сечении этот угол соответствует углу $\angle M_2M_1K_1'$. Проведём из точки $M_2$ перпендикуляр $M_2M_1'$ на прямую $K_1M_1$. Тогда $M_2M_1' = h$, а длина катета $M_1M_1'$ равна разности оснований трапеции сечения: $M_1M_1' = K_1M_1 - K_1M_1' = K_1M_1 - K_2M_2 = a - b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle M_2M_1'M_1$. В нём:

$\tan{\alpha} = \frac{M_2M_1'}{M_1M_1'} = \frac{h}{a-b}$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = (a-b)\tan{\alpha}$

Теперь подставим найденную высоту и площади оснований в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot (a-b)\tan{\alpha} \cdot (a^2 + b^2 + \sqrt{a^2 b^2})$

$V = \frac{1}{3} (a-b)\tan{\alpha} (a^2 + b^2 + ab)$

Используя формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, получаем окончательное выражение для объёма:

$V = \frac{1}{3} (a^3 - b^3) \tan{\alpha}$

Ответ: $V = \frac{1}{3} (a^3 - b^3) \tan{\alpha}$