Номер 19.45, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.45. На боковых рёбрах $BB_1$ и $CC_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что плоскость $AMK$ делит данную призму на два равновеликих многогранника. Найдите отношение $CK : KC_1$, если $BM : MB_1 = 2 : 1$.

Пусть $L$ — длина боковых ребер призмы ($L = AA_1 = BB_1 = CC_1$), а $S_{\perp}$ — площадь ее перпендикулярного сечения. Объем всей призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{\perp} \cdot L$.

Плоскость $AMK$ отсекает от призмы многогранник $ABCKM$. Объем этого многогранника (усеченной призмы) можно найти по формуле, связывающей среднюю длину боковых ребер с площадью перпендикулярного сечения. Длины боковых ребер, отсчитываемые от плоскости основания $ABC$, для вершин $A$, $B$ и $C$ составляют:

• для вершины $A$: $l_A = 0$ (так как точка $A$ лежит в секущей плоскости);
• для вершины $B$: $l_B = BM$;
• для вершины $C$: $l_C = CK$.

Объем отсеченного многогранника $V_1$ равен произведению площади перпендикулярного сечения на среднюю длину этих ребер:$V_1 = S_{\perp} \cdot \frac{l_A + l_B + l_C}{3} = S_{\perp} \cdot \frac{0 + BM + CK}{3}$.

По условию задачи, плоскость $AMK$ делит призму на два равновеликих многогранника, то есть объем $V_1$ составляет половину объема всей призмы:$V_1 = \frac{1}{2}V$.

Подставим выражения для объемов в это равенство:$S_{\perp} \cdot \frac{BM + CK}{3} = \frac{1}{2} (S_{\perp} \cdot L)$.

Сократим обе части уравнения на $S_{\perp}$ (так как $S_{\perp} \neq 0$):$\frac{BM + CK}{3} = \frac{L}{2}$,откуда получаем $BM + CK = \frac{3}{2}L$.

Из условия задачи известно, что $BM : MB_1 = 2:1$. Поскольку $BM + MB_1 = BB_1 = L$, то:$BM = \frac{2}{2+1} L = \frac{2}{3}L$.

Теперь подставим найденное значение $BM$ в наше уравнение:$\frac{2}{3}L + CK = \frac{3}{2}L$.

Выразим $CK$:$CK = \frac{3}{2}L - \frac{2}{3}L = (\frac{9}{6} - \frac{4}{6})L = \frac{5}{6}L$.

Длина отрезка $KC_1$ равна:$KC_1 = CC_1 - CK = L - \frac{5}{6}L = \frac{1}{6}L$.

Наконец, найдем искомое отношение:$\frac{CK}{KC_1} = \frac{\frac{5}{6}L}{\frac{1}{6}L} = 5$.

Следовательно, отношение $CK : KC_1 = 5 : 1$.

Ответ: 5:1.