Номер 19.46, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.46. Докажите, что объём тетраэдра в три раза меньше объёма описанного около него параллелепипеда.

Пусть дан тетраэдр и описанный около него параллелепипед. Это означает, что все четыре вершины тетраэдра являются вершинами параллелепипеда. Обозначим параллелепипед как $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Четыре вершины тетраэдра можно выбрать так, чтобы они не были смежными по ребру параллелепипеда, например, $A, C, B_1, D_1$. Обозначим объём параллелепипеда как $V_п$, а объём вписанного тетраэдра $ACB_1D_1$ как $V_т$.

Объём параллелепипеда можно представить как сумму объёма вписанного тетраэдра $V_т$ и объёмов четырёх "угловых" тетраэдров, которые отсекаются от углов параллелепипеда. Эти угловые тетраэдры имеют вершины в тех вершинах параллелепипеда, которые не являются вершинами вписанного тетраэдра. В нашем случае это вершины $B, D, A_1, C_1$. Соответствующие тетраэдры: $ABCB_1$, $ADCD_1$, $A_1AB_1D_1$ и $C_1CB_1D_1$.

Найдём объём одного из этих тетраэдров, например, $ABCB_1$. Примем за основание этого тетраэдра треугольник $ABC$, лежащий в основании параллелепипеда. Площадь этого треугольника $S_{ABC}$ равна половине площади основания параллелепипеда $S_{ABCD}$, так как диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равных треугольника: $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота тетраэдра $ABCB_1$, проведённая из вершины $B_1$ к основанию $ABC$, равна высоте параллелепипеда $H$.

Объём тетраэдра вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Таким образом, объём тетраэдра $ABCB_1$ равен: $V_{ABCB_1} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} S_{ABCD}\right) \cdot H = \frac{1}{6} (S_{ABCD} \cdot H)$.

Поскольку объём параллелепипеда $V_п = S_{ABCD} \cdot H$, мы получаем, что $V_{ABCB_1} = \frac{1}{6} V_п$. Аналогичные рассуждения применимы и к трём другим угловым тетраэдрам. Каждый из них имеет объём, равный $\frac{1}{6}$ объёма параллелепипеда. Например, для тетраэдра $A_1AB_1D_1$ можно взять за основание треугольник $A_1B_1D_1$ на верхней грани параллелепипеда, его площадь равна $\frac{1}{2} S_{A_1B_1C_1D_1}$, а высота из вершины $A$ равна $H$. Следовательно, суммарный объём четырёх угловых тетраэдров равен: $V_{угл} = 4 \cdot \frac{1}{6} V_п = \frac{4}{6} V_п = \frac{2}{3} V_п$.

Объём вписанного тетраэдра $V_т$ равен объёму параллелепипеда $V_п$ за вычетом суммарного объёма четырёх угловых тетраэдров: $V_т = V_п - V_{угл} = V_п - \frac{2}{3} V_п = \frac{1}{3} V_п$.

Таким образом, мы доказали, что объём тетраэдра равен одной трети объёма описанного около него параллелепипеда, то есть в три раза меньше.

Ответ: Доказано, что объём тетраэдра составляет $\frac{1}{3}$ объёма описанного около него параллелепипеда.