Номер 19.49, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.49. Рёбра $AB$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ соответственно равны $a$ и $b$. Расстояние и угол между прямыми $AB$ и $CD$ соответственно равны $d$ и $\alpha$. Докажите, что объём $V$ данного тетраэдра можно вычислить по формуле $V = \frac{abd \sin \alpha}{6}$.

Для доказательства данной формулы воспользуемся методом объёмов, который включает в себя преобразование исходного тетраэдра в другой, равный ему по объёму, но более удобный для вычислений.

Рассмотрим тетраэдр $DABC$. По условию задачи, длины его скрещивающихся рёбер $AB$ и $CD$ равны $a$ и $b$ соответственно. Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $d$, а угол между ними равен $\alpha$. Объём тетраэдра обозначим как $V$.

1. Построение равновеликого тетраэдра.

Выполним параллельный перенос ребра $CD$ на вектор $\overrightarrow{CA}$. При этом точка $C$ перейдёт в точку $A$, а точка $D$ — в некоторую точку $E$, так что $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}$. Получим новый тетраэдр $ABCE$. Докажем, что его объём равен объёму исходного тетраэдра $DABC$.

Объём тетраэдра можно вычислить с помощью смешанного произведения векторов, исходящих из одной вершины. Для тетраэдра $DABC$ с вершиной в точке $A$ объём равен:

$V_{DABC} = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}|$.

Для нового тетраэдра $ABCE$ объём, выраженный через векторы из той же вершины $A$, равен:

$V_{ABCE} = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AE}|$.

По нашему построению $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}$. Вектор $\overrightarrow{CD}$ можно выразить через векторы, отложенные от вершины $A$: $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}$.

Подставим это выражение в формулу для объёма $V_{ABCE}$:

$V_{ABCE} = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC})|$.

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем скобки:

$V_{ABCE} = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} - (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AC}|$.

Смешанное произведение $(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AC}$ равно нулю, поскольку вектор $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ перпендикулярен вектору $\overrightarrow{AC}$, а скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Таким образом, второе слагаемое обнуляется.

Следовательно, мы получаем:

$V_{ABCE} = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}| = V_{DABC}$.

Это доказывает, что объём $V$ исходного тетраэдра равен объёму построенного тетраэдра $ABCE$.

2. Вычисление объёма тетраэдра ABCE.

Теперь найдём объём тетраэдра $ABCE$, используя формулу $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.

В качестве основания тетраэдра $ABCE$ выберем треугольник $ABE$. Его площадь $S_{ABE}$ можно найти по формуле:

$S_{ABE} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AE}| \cdot \sin\gamma$, где $\gamma$ — угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AE}$.

Из условия мы знаем, что $|\overrightarrow{AB}| = a$. По построению $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}$, поэтому $|\overrightarrow{AE}| = |\overrightarrow{CD}| = b$. Угол $\gamma$ между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AE}$ равен углу между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$. Синус этого угла соответствует синусу угла $\alpha$ между прямыми $AB$ и $CD$, то есть $\sin\gamma = \sin\alpha$.

Таким образом, площадь основания равна:

$S_{ABE} = \frac{1}{2} ab \sin\alpha$.

Высотой $H$ тетраэдра $ABCE$, опущенной из вершины $C$ на основание $ABE$, является длина перпендикуляра от точки $C$ до плоскости $(ABE)$.

Рассмотрим плоскость $(ABE)$. Она содержит прямую $AB$ и прямую $AE$. Так как $\overrightarrow{AE}$ параллелен $\overrightarrow{CD}$, то прямая $AE$ параллельна прямой $CD$. Следовательно, плоскость $(ABE)$ является плоскостью, проходящей через прямую $AB$ параллельно прямой $CD$.

Расстояние от любой точки прямой $CD$ до параллельной ей плоскости $(ABE)$ одинаково. Это расстояние как раз и является расстоянием между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$, так как $AB$ лежит в этой плоскости. По условию, это расстояние равно $d$.

Следовательно, высота $H$ тетраэдра $ABCE$ из вершины $C$ равна $d$.

3. Итоговый расчёт объёма.

Теперь мы можем вычислить объём тетраэдра $ABCE$ (а значит и $DABC$):

$V = \frac{1}{3} S_{ABE} \cdot H = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} ab \sin\alpha\right) d = \frac{abd \sin\alpha}{6}$.

Таким образом, формула доказана.

Ответ: $V = \frac{abd \sin\alpha}{6}$.