Номер 19.53, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.53. Две грани тетраэдра — равносторонние треугольники со стороной $2\sqrt{2}$ см, а две другие грани — равнобедренные прямоугольные треугольники. Найдите радиус шара, вписанного в тетраэдр.

Радиус шара, вписанного в тетраэдр, можно найти по формуле: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объём тетраэдра, а $S_{полн}$ — площадь его полной поверхности.

Сначала определим геометрию тетраэдра и найдём площадь его поверхности.

Пусть сторона равносторонних треугольников равна $a = 2\sqrt{2}$ см. Две грани тетраэдра — равносторонние треугольники, а две другие — равнобедренные прямоугольные треугольники. Чтобы такая фигура существовала, грани должны иметь общие рёбра одинаковой длины. Единственная возможная конфигурация — это когда два равносторонних треугольника ($\triangle ABD$ и $\triangle ABC$) имеют общее ребро ($AB$), а два равнобедренных прямоугольных треугольника ($\triangle ADC$ и $\triangle BDC$) также имеют общее ребро ($CD$), которое является их гипотенузой.

Таким образом, рёбра $AB, AD, BD, AC, BC$ равны стороне равностороннего треугольника: $AB = AD = BD = AC = BC = 2\sqrt{2}$ см.

Грани $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$ — равнобедренные прямоугольные треугольники. Их катеты — это рёбра $AD, AC$ и $BD, BC$ соответственно, каждое длиной $2\sqrt{2}$ см. Гипотенуза у них общая — ребро $CD$. По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы $CD$:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16$.

$CD = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь вычислим площадь полной поверхности тетраэдра $S_{полн}$.

1. Площадь одного равностороннего треугольника ($S_1$) со стороной $a=2\sqrt{2}$:

$S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Площадь одного равнобедренного прямоугольного треугольника ($S_2$) с катетами $k=2\sqrt{2}$:

$S_2 = \frac{1}{2} k \cdot k = \frac{1}{2} (2\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см$^2$.

Полная площадь поверхности состоит из двух граней каждого типа:

$S_{полн} = 2 \cdot S_1 + 2 \cdot S_2 = 2 \cdot 2\sqrt{3} + 2 \cdot 4 = 4\sqrt{3} + 8$ см$^2$.

Далее найдём объём тетраэдра $V$.

Для этого воспользуемся методом координат. Поместим тетраэдр в систему координат так, чтобы основание $\triangle ABD$ лежало в плоскости $Oxy$. Пусть середина ребра $AB$ находится в начале координат $O(0,0,0)$, а само ребро $AB$ лежит на оси $Ox$.

Поскольку $AB = 2\sqrt{2}$, то координаты вершин $A$ и $B$ будут $A(-\sqrt{2}, 0, 0)$ и $B(\sqrt{2}, 0, 0)$.

Вершина $D$ лежит в плоскости $Oxy$ и образует с $A$ и $B$ равносторонний треугольник. Её x-координата равна 0, а y-координату найдём из высоты треугольника $h_{ABD} = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}$. Итак, $D(0, \sqrt{6}, 0)$.

Площадь основания $S_{осн} = S_{\triangle ABD} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.

Вершина $C(x,y,z)$ равноудалена от $A$ и $B$ ($AC=BC=2\sqrt{2}$), поэтому она лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $AB$ и проходящей через его середину, то есть в плоскости $Oyz$. Значит, $x=0$.

Найдём координаты $y$ и $z$ для точки $C(0,y,z)$ из условий:

$AC^2 = (0-(-\sqrt{2}))^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 2+y^2+z^2 = (2\sqrt{2})^2=8 \implies y^2+z^2=6$.

$CD^2 = (0-0)^2 + (y-\sqrt{6})^2 + (z-0)^2 = y^2-2\sqrt{6}y+6+z^2 = 4^2=16$.

Подставим $y^2+z^2=6$ во второе уравнение:

$6 - 2\sqrt{6}y + 6 = 16 \implies 12 - 2\sqrt{6}y = 16 \implies -2\sqrt{6}y = 4 \implies y = -\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Теперь найдём $z$:

$z^2 = 6 - y^2 = 6 - (-\frac{\sqrt{6}}{3})^2 = 6 - \frac{6}{9} = 6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

$z = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Высота тетраэдра $H$ из вершины $C$ на основание $\triangle ABD$ (плоскость $Oxy$) равна z-координате точки $C$: $H = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Теперь можем вычислить объём тетраэдра:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8 \cdot 3}{9} = \frac{8}{3}$ см$^3$.

Наконец, найдём радиус вписанного шара:

$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{8}{3}}{8 + 4\sqrt{3}} = \frac{8}{8 + 4\sqrt{3}} = \frac{8}{4(2 + \sqrt{3})} = \frac{2}{2 + \sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$r = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 2(2 - \sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4 - 2\sqrt{3}$ см.