Номер 19.57, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.57. Дан тетраэдр $DABC$. На ребре $AD$ отметили точку $K$ так, что $AK : KD = 3 : 1$. На продолжении рёбер $AB$ и $AC$ за точки $B$ и $C$ отметили точки $N$ и $M$ так, что $AB = BN$ и $MC : CA = 1 : 3$. В каком отношении плоскость $KMN$ делит объём данного тетраэдра?

Для решения задачи введем векторный базис с началом в вершине тетраэдра $A$. Пусть $\vec{AB} = \mathbf{b}$, $\vec{AC} = \mathbf{c}$ и $\vec{AD} = \mathbf{d}$. Объем тетраэдра $DABC$ (или, что то же самое, $ABCD$) выражается через смешанное произведение этих векторов: $V = \frac{1}{6} |(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \cdot \mathbf{d}|$.

1. Определение положения точек K, N, M

Выразим векторы, определяющие положение точек $K, N, M$, через базисные векторы:

• Точка $K$ лежит на ребре $AD$ так, что $AK : KD = 3 : 1$. Это означает, что $\vec{AK} = \frac{3}{3+1}\vec{AD} = \frac{3}{4}\mathbf{d}$.
• Точка $N$ лежит на продолжении ребра $AB$ за точку $B$ так, что $AB = BN$. Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $AN$. Следовательно, $\vec{AN} = 2\vec{AB} = 2\mathbf{b}$.
• Точка $M$ лежит на продолжении ребра $AC$ за точку $C$ так, что $MC : CA = 1 : 3$. Это означает, что точки расположены в порядке $A-C-M$ и длина отрезка $CM$ составляет $\frac{1}{3}$ длины отрезка $AC$. Тогда $\vec{AM} = \vec{AC} + \vec{CM} = \vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AC} = \frac{4}{3}\vec{AC} = \frac{4}{3}\mathbf{c}$.

2. Нахождение точек пересечения плоскости KMN с ребрами тетраэдра

Плоскость $KMN$ пересекает ребра тетраэдра $DABC$. По условию, точка $K$ уже лежит на ребре $AD$. Найдем точки пересечения плоскости с другими ребрами тетраэдра, выходящими из вершины $D$, то есть с ребрами $DB$ и $DC$.

Уравнение плоскости, проходящей через точки $K, M, N$ в аффинной системе координат с началом в $A$ и осями, направленными вдоль векторов $\mathbf{d}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$, имеет вид "в отрезках":$\frac{x_d}{d_K} + \frac{x_b}{b_N} + \frac{x_c}{c_M} = 1$, где $d_K = \frac{3}{4}$, $b_N = 2$, $c_M = \frac{4}{3}$ — "отрезки", отсекаемые плоскостью на осях. Подставив значения, получаем уравнение плоскости $KMN$:$\frac{x_d}{3/4} + \frac{x_b}{2} + \frac{x_c}{4/3} = 1 \implies \frac{4x_d}{3} + \frac{x_b}{2} + \frac{3x_c}{4} = 1$.

Найдем точку $Q$ — пересечение плоскости $KMN$ и ребра $DB$. Любая точка на прямой $DB$ может быть представлена как $\vec{AQ} = (1-t)\vec{AD} + t\vec{AB} = (1-t)\mathbf{d} + t\mathbf{b}$. Ее координаты в нашей системе: $(x_d, x_b, x_c) = (1-t, t, 0)$. Подставим их в уравнение плоскости:$\frac{4(1-t)}{3} + \frac{t}{2} = 1 \implies 8(1-t) + 3t = 6 \implies 8 - 8t + 3t = 6 \implies 5t = 2 \implies t = \frac{2}{5}$. Так как $0 < t < 1$, точка $Q$ лежит на ребре $DB$. При этом $\vec{DQ} = \vec{AQ} - \vec{AD} = ((1-\frac{2}{5})\mathbf{d} + \frac{2}{5}\mathbf{b}) - \mathbf{d} = \frac{2}{5}\mathbf{b} - \frac{2}{5}\mathbf{d} = \frac{2}{5}(\mathbf{b}-\mathbf{d}) = \frac{2}{5}\vec{DB}$. Отсюда следует, что $\frac{DQ}{DB} = \frac{2}{5}$.

Найдем точку $R$ — пересечение плоскости $KMN$ и ребра $DC$. Любая точка на прямой $DC$ может быть представлена как $\vec{AR} = (1-u)\vec{AD} + u\vec{AC} = (1-u)\mathbf{d} + u\mathbf{c}$. Ее координаты: $(x_d, x_b, x_c) = (1-u, 0, u)$. Подставим их в уравнение плоскости:$\frac{4(1-u)}{3} + \frac{3u}{4} = 1 \implies 16(1-u) + 9u = 12 \implies 16 - 16u + 9u = 12 \implies 7u = 4 \implies u = \frac{4}{7}$. Так как $0 < u < 1$, точка $R$ лежит на ребре $DC$. При этом $\vec{DR} = \vec{AR} - \vec{AD} = ((1-\frac{4}{7})\mathbf{d} + \frac{4}{7}\mathbf{c}) - \mathbf{d} = \frac{4}{7}\mathbf{c} - \frac{4}{7}\mathbf{d} = \frac{4}{7}(\mathbf{c}-\mathbf{d}) = \frac{4}{7}\vec{DC}$. Отсюда следует, что $\frac{DR}{DC} = \frac{4}{7}$.

Таким образом, плоскость $KMN$ пересекает три ребра тетраэдра, выходящие из вершины $D$: $AD$ в точке $K$, $DB$ в точке $Q$ и $DC$ в точке $R$. Следовательно, плоскость отсекает от тетраэдра $DABC$ меньший тетраэдр $DKQR$.

3. Вычисление отношения объемов

Объем тетраэдра, отсекаемого плоскостью от угла трехгранного угла, относится к объему исходного тетраэдра как произведение отношений длин отсекаемых ребер к исходным ребрам.$\frac{V_{DKQR}}{V_{DABC}} = \frac{DK}{DA} \cdot \frac{DQ}{DB} \cdot \frac{DR}{DC}$.

Найдем эти отношения:

• Из условия $AK:KD=3:1$ следует, что $DA = AK+KD = 3KD+KD = 4KD$. Значит, $\frac{DK}{DA} = \frac{1}{4}$.
• Как мы нашли ранее, $\frac{DQ}{DB} = \frac{2}{5}$.
• Как мы нашли ранее, $\frac{DR}{DC} = \frac{4}{7}$.

Теперь вычислим отношение объемов:$\frac{V_{DKQR}}{V_{DABC}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{7} = \frac{8}{140} = \frac{2}{35}$.

Пусть $V_1$ — это объем отсеченного тетраэдра $DKQR$, а $V_2$ — объем оставшейся части.$V_1 = \frac{2}{35}V_{DABC}$.$V_2 = V_{DABC} - V_1 = V_{DABC} - \frac{2}{35}V_{DABC} = \frac{33}{35}V_{DABC}$.

Искомое отношение, в котором плоскость $KMN$ делит объем тетраэдра, равно $V_1 : V_2$:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{2}{35}V_{DABC}}{\frac{33}{35}V_{DABC}} = \frac{2}{33}$.

Ответ: $2:33$.