Номер 19.51, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.51. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно 4 см. На ребре $AB$ отметили точки $M$ и $N$, а на ребре $CD$ — точки $K$ и $E$. Известно, что $MN = 1$ см, $KE = 3$ см. Найдите объём тетраэдра $MNKE$.

Для нахождения объёма тетраэдра $MNKE$ воспользуемся формулой, связывающей объём тетраэдра с длинами двух его скрещивающихся (противоположных) рёбер, расстоянием и углом между ними:

$V = \frac{1}{6} a b d \sin\theta$,

где $a$ и $b$ — длины скрещивающихся рёбер, $d$ — расстояние между прямыми, содержащими эти рёбра, а $\theta$ — угол между этими прямыми.

В тетраэдре $MNKE$ выберем в качестве скрещивающихся рёбер рёбра $MN$ и $KE$. Согласно условию задачи, их длины равны:

$a = MN = 1$ см,

$b = KE = 3$ см.

Точки $M$ и $N$ лежат на ребре $AB$ правильного тетраэдра $DABC$, а точки $K$ и $E$ — на ребре $CD$. Это означает, что ребро $MN$ лежит на прямой $AB$, а ребро $KE$ — на прямой $CD$. Следовательно, расстояние $d$ и угол $\theta$ между рёбрами $MN$ и $KE$ равны расстоянию и углу между рёбрами $AB$ и $CD$ исходного правильного тетраэдра $DABC$.

Найдём угол $\theta$ и расстояние $d$ для рёбер $AB$ и $CD$ правильного тетраэдра $DABC$ с длиной ребра $L = 4$ см.

1. Угол между рёбрами $AB$ и $CD$. В правильном тетраэдре любые два скрещивающихся ребра перпендикулярны. Таким образом, прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны, и угол между ними $\theta = 90^\circ$. Отсюда следует, что $\sin\theta = \sin(90^\circ) = 1$.

2. Расстояние между рёбрами $AB$ и $CD$. Расстояние между двумя скрещивающимися рёбрами правильного тетраэдра с ребром $L$ вычисляется по формуле $d = \frac{L}{\sqrt{2}}$. В нашем случае $L = 4$ см, поэтому:

$d = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, когда все необходимые величины найдены, можем вычислить объём тетраэдра $MNKE$:

$V_{MNKE} = \frac{1}{6} \cdot MN \cdot KE \cdot d \cdot \sin\theta$

$V_{MNKE} = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 1 = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $\sqrt{2}$ см$^3$.