Номер 19.48, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.48. Дан тетраэдр $DABC$. Расстояния между прямыми $AB$ и $DC$, $AC$ и $DB$, $BC$ и $AD$ равны соответственно $d_1$, $d_2$ и $d_3$. Докажите, что объём тетраэдра не меньше, чем $\frac{d_1d_2d_3}{3}$.

Доказательство:

Введем векторы, исходящие из одной вершины тетраэдра, например, из вершины A: $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AC}$, $\vec{c} = \vec{AD}$. Объем тетраэдра $V$ выражается через смешанное произведение этих векторов:$V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$.

Выразим векторы скрещивающихся ребер через $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

• $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{AC} - \vec{AD} = \vec{b} - \vec{c}$
• $\vec{AC} = \vec{b}$ и $\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{a} - \vec{c}$
• $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{c}$

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$, а другая — через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:$d = \frac{| \vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) |}{| \vec{v_1} \times \vec{v_2} |}$.

Применим эту формулу для каждой пары скрещивающихся ребер:

1. Для прямых $AB$ и $DC$. Пусть $M_1=A$, $M_2=D$. Тогда $\vec{v_1} = \vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{v_2} = \vec{DC} = \vec{b} - \vec{c}$, а $\vec{M_1M_2} = \vec{AD} = \vec{c}$.$d_1 = \frac{|\vec{c} \cdot (\vec{a} \times (\vec{b}-\vec{c}))|}{|\vec{a} \times (\vec{b}-\vec{c})|} = \frac{|\vec{c} \cdot (\vec{a}\times\vec{b} - \vec{a}\times\vec{c})|}{|\vec{a}\times\vec{b} - \vec{a}\times\vec{c}|}$. В числителе $\vec{c} \cdot (\vec{a}\times\vec{c})$ равно нулю, так как вектор $\vec{a}\times\vec{c}$ ортогонален вектору $\vec{c}$. Поэтому числитель равен $|\vec{c} \cdot (\vec{a}\times\vec{b})| = |(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}| = 6V$. Таким образом, $d_1 = \frac{6V}{|\vec{a}\times\vec{b} - \vec{a}\times\vec{c}|}$.

2. Для прямых $AC$ и $DB$. Пусть $M_1=A$, $M_2=D$. Тогда $\vec{v_1} = \vec{AC} = \vec{b}$, $\vec{v_2} = \vec{DB} = \vec{a} - \vec{c}$, а $\vec{M_1M_2} = \vec{AD} = \vec{c}$.$d_2 = \frac{|\vec{c} \cdot (\vec{b} \times (\vec{a}-\vec{c}))|}{|\vec{b} \times (\vec{a}-\vec{c})|} = \frac{|\vec{c} \cdot (\vec{b}\times\vec{a})|}{|\vec{b}\times\vec{a} - \vec{b}\times\vec{c}|} = \frac{|-(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|}{|\vec{b}\times\vec{a} - \vec{b}\times\vec{c}|} = \frac{6V}{|\vec{b}\times\vec{a} - \vec{b}\times\vec{c}|}$.

3. Для прямых $BC$ и $AD$. Пусть $M_1=A$, $M_2=B$. Тогда $\vec{v_1} = \vec{AD} = \vec{c}$, $\vec{v_2} = \vec{BC} = \vec{b} - \vec{a}$, а $\vec{M_1M_2} = \vec{AB} = \vec{a}$.$d_3 = \frac{|\vec{a} \cdot (\vec{c} \times (\vec{b}-\vec{a}))|}{|\vec{c} \times (\vec{b}-\vec{a})|} = \frac{|\vec{a} \cdot (\vec{c}\times\vec{b})|}{|\vec{c}\times\vec{b} - \vec{c}\times\vec{a}|} = \frac{|(\vec{a}\times\vec{c})\cdot\vec{b}|}{|\vec{c}\times\vec{b} - \vec{c}\times\vec{a}|} = \frac{|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|}{|\vec{c}\times\vec{b} - \vec{c}\times\vec{a}|} = \frac{6V}{|\vec{c}\times\vec{b} - \vec{c}\times\vec{a}|}$.

Нам нужно доказать, что $V \ge \frac{d_1d_2d_3}{3}$, или $3V \ge d_1d_2d_3$. Подставим полученные выражения для $d_1, d_2, d_3$:$3V \ge \frac{6V}{|\vec{a}\times\vec{b} - \vec{a}\times\vec{c}|} \cdot \frac{6V}{|\vec{b}\times\vec{a} - \vec{b}\times\vec{c}|} \cdot \frac{6V}{|\vec{c}\times\vec{b} - \vec{c}\times\vec{a}|}$.

При $V>0$ разделим обе части на $3V$:$1 \ge \frac{72V^2}{|\vec{a}\times\vec{b} - \vec{a}\times\vec{c}| \cdot |\vec{b}\times\vec{a} - \vec{b}\times\vec{c}| \cdot |\vec{c}\times\vec{b} - \vec{c}\times\vec{a}|}$.

Это неравенство равносильно следующему:$|\vec{a}\times\vec{b} - \vec{a}\times\vec{c}| \cdot |-(\vec{a}\times\vec{b}) - (\vec{b}\times\vec{c})| \cdot |(\vec{b}\times\vec{c}) - (\vec{a}\times\vec{c})| \ge 72V^2$.

Введем вспомогательные векторы: $\vec{P} = \vec{a} \times \vec{b}$, $\vec{Q} = \vec{b} \times \vec{c}$, $\vec{R} = \vec{c} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{c})$. Неравенство принимает вид:$|\vec{P}+\vec{R}| \cdot |-\vec{P}-\vec{Q}| \cdot |\vec{Q}+\vec{R}| \ge 72 \left(\frac{1}{6} |(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|\right)^2$.$|\vec{P}+\vec{Q}| \cdot |\vec{Q}+\vec{R}| \cdot |\vec{R}+\vec{P}| \ge 2 |(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|^2$.

Воспользуемся свойством смешанного произведения векторов $\vec{P}, \vec{Q}, \vec{R}$:$(\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{R} = ((\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{b}\times\vec{c}))\cdot(\vec{c}\times\vec{a}) = ((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c})\vec{b} \cdot (\vec{c}\times\vec{a}) = ((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}) ((\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}) = ((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c})^2$. Таким образом, $|(\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{R}| = |(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|^2$.

Неравенство, которое нам нужно доказать, сводится к общему векторному неравенству для любых трех векторов $\vec{P}, \vec{Q}, \vec{R}$:$|\vec{P}+\vec{Q}| \cdot |\vec{Q}+\vec{R}| \cdot |\vec{R}+\vec{P}| \ge 2 |(\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{R}|$.

Докажем это неравенство. Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах $\vec{P}, \vec{Q}, \vec{R}$. Его объем $V_{PQR} = |(\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{R}|$. Рассмотрим другой параллелепипед, построенный на векторах $\vec{x} = \frac{\vec{P}+\vec{Q}}{2}$, $\vec{y} = \frac{\vec{Q}+\vec{R}}{2}$, $\vec{z} = \frac{\vec{R}+\vec{P}}{2}$. Объем этого параллелепипеда $V_{xyz} = |(\vec{x}\times\vec{y})\cdot\vec{z}|$. Вычислим смешанное произведение:$(\vec{x}\times\vec{y})\cdot\vec{z} = \frac{1}{8} ((\vec{P}+\vec{Q})\times(\vec{Q}+\vec{R})) \cdot (\vec{R}+\vec{P}) = \frac{1}{8} (\vec{P}\times\vec{Q} + \vec{P}\times\vec{R} + \vec{Q}\times\vec{R}) \cdot (\vec{R}+\vec{P})$. Раскрывая скобки и учитывая, что смешанное произведение с повторяющимися векторами равно нулю, получаем:$(\vec{x}\times\vec{y})\cdot\vec{z} = \frac{1}{8} ((\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{R} + (\vec{Q}\times\vec{R})\cdot\vec{P}) = \frac{1}{8} (2(\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{R}) = \frac{1}{4}(\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{R}$. Следовательно, $V_{xyz} = \frac{1}{4}V_{PQR}$.

Объем любого параллелепипеда не превышает произведения длин его ребер: $V_{xyz} \le |\vec{x}| |\vec{y}| |\vec{z}|$. Подставляя выражения для $V_{xyz}$ и векторов $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$, получаем:$\frac{1}{4} V_{PQR} \le \left|\frac{\vec{P}+\vec{Q}}{2}\right| \left|\frac{\vec{Q}+\vec{R}}{2}\right| \left|\frac{\vec{R}+\vec{P}}{2}\right| = \frac{1}{8} |\vec{P}+\vec{Q}| |\vec{Q}+\vec{R}| |\vec{R}+\vec{P}|$.

Умножив обе части на 8, получаем искомое векторное неравенство:$2V_{PQR} \le |\vec{P}+\vec{Q}| |\vec{Q}+\vec{R}| |\vec{R}+\vec{P}|$.$2|(\vec{P}\times\vec{Q})\cdot\vec{R}| \le |\vec{P}+\vec{Q}| |\vec{Q}+\vec{R}| |\vec{R}+\vec{P}|$.

Поскольку это неравенство верно для любых векторов $\vec{P}, \vec{Q}, \vec{R}$, оно верно и для наших векторов, а значит, верно и исходное неравенство для объема тетраэдра. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, объем тетраэдра $V$ действительно не меньше, чем $\frac{d_1d_2d_3}{3}$.