Номер 19.55, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.55. Дан тетраэдр $DABC$. На лучах $DA$, $DB$ и $DC$ отметили соответст-венно точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что отношение объёмов тетра-эдров $DABC$ и $DA_1B_1C_1$ равно $\frac{DA \cdot DB \cdot DC}{DA_1 \cdot DB_1 \cdot DC_1}$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для объема тетраэдра, выраженной через длины трех ребер, выходящих из одной вершины, и углы между ними. Объем тетраэдра $DABC$ можно вычислить, приняв за основание одну из граней, например, $DBC$, а в качестве вершины — точку $A$.

Объем тетраэдра $DABC$ равен $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{DBC} \cdot h_A$, где $S_{DBC}$ — площадь основания (треугольника $DBC$), а $h_A$ — высота, опущенная из вершины $A$ на плоскость основания $DBC$.

Площадь треугольника $DBC$ можно выразить через две стороны и угол между ними: $S_{DBC} = \frac{1}{2} DB \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC)$.

Тогда объем тетраэдра $DABC$ будет:$V_{DABC} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} DB \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC)\right) \cdot h_A = \frac{1}{6} DB \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC) \cdot h_A$.

Аналогично, для тетраэдра $DA_1B_1C_1$ с основанием $DB_1C_1$ и вершиной $A_1$:$V_{DA_1B_1C_1} = \frac{1}{3} S_{DB_1C_1} \cdot h_{A_1}$, где $h_{A_1}$ — высота из вершины $A_1$ на плоскость $DB_1C_1$.

Поскольку точки $B_1$ и $C_1$ лежат на лучах $DB$ и $DC$, плоскость треугольника $DB_1C_1$ совпадает с плоскостью треугольника $DBC$. Также, угол $\angle B_1DC_1$ равен углу $\angle BDC$.

Площадь треугольника $DB_1C_1$ равна: $S_{DB_1C_1} = \frac{1}{2} DB_1 \cdot DC_1 \cdot \sin(\angle B_1DC_1) = \frac{1}{2} DB_1 \cdot DC_1 \cdot \sin(\angle BDC)$.

Тогда объем тетраэдра $DA_1B_1C_1$ будет:$V_{DA_1B_1C_1} = \frac{1}{6} DB_1 \cdot DC_1 \cdot \sin(\angle BDC) \cdot h_{A_1}$.

Теперь найдем отношение объемов:$\frac{V_{DABC}}{V_{DA_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{6} DB \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC) \cdot h_A}{\frac{1}{6} DB_1 \cdot DC_1 \cdot \sin(\angle BDC) \cdot h_{A_1}} = \frac{DB \cdot DC \cdot h_A}{DB_1 \cdot DC_1 \cdot h_{A_1}}$.

Осталось найти отношение высот $h_A / h_{A_1}$. Пусть $H$ и $H_1$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $A_1$ на плоскость $DBC$. Тогда $h_A = AH$ и $h_{A_1} = A_1H_1$. Так как $AH$ и $A_1H_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости, они параллельны друг другу.

Рассмотрим треугольники $\triangle DAH$ и $\triangle DA_1H_1$. Они являются прямоугольными ($\angle DHA = \angle DH_1A_1 = 90^\circ$). Точки $D, A_1, A$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle ADH$ является общим для обоих треугольников. Следовательно, треугольники $\triangle DAH$ и $\triangle DA_1H_1$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:$\frac{AH}{A_1H_1} = \frac{DA}{DA_1}$, то есть $\frac{h_A}{h_{A_1}} = \frac{DA}{DA_1}$.

Подставим это отношение в формулу для отношения объемов:$\frac{V_{DABC}}{V_{DA_1B_1C_1}} = \frac{DB \cdot DC}{DB_1 \cdot DC_1} \cdot \frac{h_A}{h_{A_1}} = \frac{DB \cdot DC}{DB_1 \cdot DC_1} \cdot \frac{DA}{DA_1}$.

Перегруппировав множители, получаем:$\frac{V_{DABC}}{V_{DA_1B_1C_1}} = \frac{DA \cdot DB \cdot DC}{DA_1 \cdot DB_1 \cdot DC_1}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отношение объемов тетраэдров $DABC$ и $DA_1B_1C_1$ равно $\frac{DA \cdot DB \cdot DC}{DA_1 \cdot DB_1 \cdot DC_1}$.