Номер 19.56, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.56. Дан тетраэдр $DABC$. Точка $M$ — середина медианы $DK$ треугольника $ADB$. На медиане $DF$ треугольника $ADC$ отметили точку $N$ так, что $DN : NF = 1 : 2$. В каком отношении плоскость $AMN$ делит объём данного тетраэдра?

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в вершине тетраэдра $D$. Обозначим векторы, идущие из точки $D$ в другие вершины тетраэдра, следующим образом: $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$. Объем тетраэдра $DABC$ равен $V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$.

Найдем положение точек $M$ и $N$.

1. Точка $K$ — середина стороны $AB$ в треугольнике $ADB$. Вектор $\vec{AB} = \vec{DB} - \vec{DA} = \vec{b} - \vec{a}$. Медиана $DK$ соединяет вершину $D$ с точкой $K$. Вектор $\vec{DK}$ можно выразить как:$\vec{DK} = \vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{AB} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$. Точка $M$ — середина медианы $DK$, следовательно:$\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{DK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b})$.

2. Точка $F$ — середина стороны $AC$ в треугольнике $ADC$. Вектор $\vec{AC} = \vec{DC} - \vec{DA} = \vec{c} - \vec{a}$. Медиана $DF$ соединяет вершину $D$ с точкой $F$. Вектор $\vec{DF}$ можно выразить как:$\vec{DF} = \vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{AC} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$. Точка $N$ делит медиану $DF$ в отношении $DN:NF = 1:2$, значит, $DN = \frac{1}{3}DF$.$\vec{DN} = \frac{1}{3}\vec{DF} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{1}{6}(\vec{a} + \vec{c})$.

Плоскость $AMN$ проходит через точки $A$, $M$ и $N$. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра $DB$ и $DC$. Обозначим эти точки $P$ и $Q$ соответственно.

Любая точка $R$, лежащая в плоскости $AMN$, может быть представлена в виде:$\vec{DR} = \vec{DA} + s \cdot \vec{AM} + t \cdot \vec{AN}$ для некоторых скаляров $s$ и $t$. Выразим векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$ через базисные векторы:$\vec{AM} = \vec{DM} - \vec{DA} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b}) - \vec{a} = \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{3}{4}\vec{a}$.$\vec{AN} = \vec{DN} - \vec{DA} = \frac{1}{6}(\vec{a} + \vec{c}) - \vec{a} = \frac{1}{6}\vec{c} - \frac{5}{6}\vec{a}$. Тогда уравнение плоскости:$\vec{DR} = \vec{a} + s(\frac{1}{4}\vec{b} - \frac{3}{4}\vec{a}) + t(\frac{1}{6}\vec{c} - \frac{5}{6}\vec{a}) = (1 - \frac{3s}{4} - \frac{5t}{6})\vec{a} + \frac{s}{4}\vec{b} + \frac{t}{6}\vec{c}$.

Точка $P$ лежит на ребре $DB$, поэтому ее вектор $\vec{DP}$ коллинеарен вектору $\vec{DB}$, то есть $\vec{DP} = k \cdot \vec{DB} = k\vec{b}$. Поскольку $P$ также лежит в плоскости $AMN$, ее вектор должен удовлетворять уравнению плоскости:$k\vec{b} = (1 - \frac{3s}{4} - \frac{5t}{6})\vec{a} + \frac{s}{4}\vec{b} + \frac{t}{6}\vec{c}$. Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ некомпланарны, мы можем приравнять коэффициенты при них:
при $\vec{a}$: $1 - \frac{3s}{4} - \frac{5t}{6} = 0$
при $\vec{b}$: $k = \frac{s}{4}$
при $\vec{c}$: $\frac{t}{6} = 0 \implies t = 0$. Подставляя $t=0$ в первое уравнение, получаем $1 - \frac{3s}{4} = 0$, откуда $s = \frac{4}{3}$. Теперь находим $k$: $k = \frac{s}{4} = \frac{4/3}{4} = \frac{1}{3}$. Таким образом, $\vec{DP} = \frac{1}{3}\vec{b}$, что означает, что точка $P$ делит ребро $DB$ в отношении $DP:PB = 1:2$.

Аналогично, точка $Q$ лежит на ребре $DC$, поэтому ее вектор $\vec{DQ} = l \cdot \vec{DC} = l\vec{c}$. Приравнивая его к выражению для $\vec{DR}$:$l\vec{c} = (1 - \frac{3s}{4} - \frac{5t}{6})\vec{a} + \frac{s}{4}\vec{b} + \frac{t}{6}\vec{c}$. Приравниваем коэффициенты:
при $\vec{a}$: $1 - \frac{3s}{4} - \frac{5t}{6} = 0$
при $\vec{b}$: $\frac{s}{4} = 0 \implies s = 0$
при $\vec{c}$: $l = \frac{t}{6}$. Подставляя $s=0$ в первое уравнение, получаем $1 - \frac{5t}{6} = 0$, откуда $t = \frac{6}{5}$. Теперь находим $l$: $l = \frac{t}{6} = \frac{6/5}{6} = \frac{1}{5}$. Таким образом, $\vec{DQ} = \frac{1}{5}\vec{c}$, что означает, что точка $Q$ делит ребро $DC$ в отношении $DQ:QC = 1:4$.

Секущая плоскость $AMN$ пересекает ребра $DB$ и $DC$ в точках $P$ и $Q$ и проходит через вершину $A$. Таким образом, она отсекает от исходного тетраэдра $DABC$ меньший тетраэдр $DAPQ$.

Найдем отношение объема тетраэдра $DAPQ$ к объему тетраэдра $DABC$. Для тетраэдров, имеющих общий трехгранный угол, отношение их объемов равно отношению произведений длин ребер, образующих этот угол. В нашем случае общим является трехгранный угол при вершине $D$.$\frac{V_{DAPQ}}{V_{DABC}} = \frac{DA}{DA} \cdot \frac{DP}{DB} \cdot \frac{DQ}{DC}$. Мы нашли, что $\frac{DP}{DB} = k = \frac{1}{3}$ и $\frac{DQ}{DC} = l = \frac{1}{5}$. Отношение $\frac{DA}{DA}=1$. Следовательно:$\frac{V_{DAPQ}}{V_{DABC}} = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$.

Это означает, что объем отсеченного тетраэдра $V_1 = V_{DAPQ}$ составляет $\frac{1}{15}$ от объема исходного тетраэдра $V_{DABC}$. Объем оставшейся части $V_2$ равен:$V_2 = V_{DABC} - V_1 = V_{DABC} - \frac{1}{15}V_{DABC} = \frac{14}{15}V_{DABC}$. Плоскость $AMN$ делит объем тетраэдра в отношении:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{15}V_{DABC}}{\frac{14}{15}V_{DABC}} = \frac{1}{14}$.

Ответ: $1:14$.