Номер 19.59, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.59. Грани DAB, DBC и DCA тетраэдра DABC являются равновеликими треугольниками. Известно, что $DA = DB = DC = b$, $\angle ADB = 2\alpha$.

Найдите объём тетраэдра.

По условию задачи, в тетраэдре $DABC$ боковые рёбра, исходящие из вершины $D$, равны: $DA = DB = DC = b$. Грани $DAB$, $DBC$ и $DCA$, имеющие общую вершину $D$, являются равновеликими треугольниками. Также известен один из плоских углов при вершине $D$: $\angle ADB = 2\alpha$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними. Применим эту формулу для граней тетраэдра:
Площадь грани $DAB$: $S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DB \cdot \sin(\angle ADB) = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.
Площадь грани $DBC$: $S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC) = \frac{1}{2} b^2 \sin(\angle BDC)$.
Площадь грани $DCA$: $S_{DCA} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot DA \cdot \sin(\angle CDA) = \frac{1}{2} b^2 \sin(\angle CDA)$.

Так как по условию эти площади равны ($S_{DAB} = S_{DBC} = S_{DCA}$), то мы можем приравнять их выражения:
$\frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} b^2 \sin(\angle BDC) = \frac{1}{2} b^2 \sin(\angle CDA)$.
Отсюда следует, что $\sin(2\alpha) = \sin(\angle BDC) = \sin(\angle CDA)$.

Равенство синусов углов, меньших $\pi$, означает, что сами углы либо равны, либо их сумма равна $\pi$. Таким образом, каждый из углов $\angle BDC$ и $\angle CDA$ может быть равен $2\alpha$ или $\pi - 2\alpha$. Рассмотрим наиболее симметричный случай, когда все три плоских угла при вершине $D$ равны между собой:
$\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 2\alpha$.
Для существования такого трёхгранного угла необходимо, чтобы сумма его плоских углов была меньше $360^\circ$, то есть $3 \cdot (2\alpha) < 360^\circ$, что даёт условие $\alpha < 60^\circ$.

Объём тетраэдра находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H$, где $S_{ABC}$ — площадь основания $ABC$, а $H$ — высота, опущенная из вершины $D$ на это основание.

Сначала найдём длины сторон основания $ABC$, применяя теорему косинусов к каждой боковой грани.
В треугольнике $\triangle DAB$:$AB^2 = DA^2 + DB^2 - 2 \cdot DA \cdot DB \cdot \cos(\angle ADB) = b^2 + b^2 - 2b^2\cos(2\alpha) = 2b^2(1 - \cos(2\alpha))$. Используя формулу $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$, получаем:$AB^2 = 2b^2(2\sin^2\alpha) = 4b^2\sin^2\alpha$. Следовательно, $AB = 2b\sin\alpha$.

Поскольку мы приняли, что $\angle BDC = \angle CDA = 2\alpha$, стороны $BC$ и $CA$ находятся аналогично и равны $AB$. Таким образом, $AB = BC = CA = 2b\sin\alpha$, и треугольник $ABC$ в основании является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a = 2b\sin\alpha$ равна:
$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2b\sin\alpha)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4b^2\sin^2\alpha\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}b^2\sin^2\alpha$.

Так как рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ равны, вершина $D$ проектируется в центр $O$ описанной окружности основания $ABC$. Высота тетраэдра $H$ — это длина отрезка $DO$. Радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$R = AO = \frac{2b\sin\alpha}{\sqrt{3}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADO$. По теореме Пифагора $H^2 = DO^2 = DA^2 - AO^2$:
$H^2 = b^2 - R^2 = b^2 - \left(\frac{2b\sin\alpha}{\sqrt{3}}\right)^2 = b^2 - \frac{4b^2\sin^2\alpha}{3} = b^2\left(1 - \frac{4}{3}\sin^2\alpha\right)$.
$H = b\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2\alpha}$.

Теперь мы можем вычислить объём тетраэдра:
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{3}b^2\sin^2\alpha) \cdot b\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{3}b^3\sin^2\alpha \sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2\alpha}$.

Для более изящного вида ответа преобразуем подкоренное выражение, используя формулу $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:
$\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{4}{3}\left(\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}\right)} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}(1-\cos(2\alpha))} = \sqrt{\frac{3-2+2\cos(2\alpha)}{3}} = \sqrt{\frac{1+2\cos(2\alpha)}{3}} = \frac{\sqrt{1+2\cos(2\alpha)}}{\sqrt{3}}$.

Подставим это выражение обратно в формулу для объёма:
$V = \frac{\sqrt{3}}{3}b^3\sin^2\alpha \cdot \frac{\sqrt{1+2\cos(2\alpha)}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}b^3\sin^2\alpha\sqrt{1+2\cos(2\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{1}{3}b^3\sin^2\alpha\sqrt{1+2\cos(2\alpha)}$